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[几何] P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点,求证PA+PC+PE=PB+PD

本帖最后由 isee 于 2014-3-21 17:07 编辑

由正边形外接圆一点,作过顶点的五条线段之间的数量关系

字母不防按逆时针排列:图其实可以省略

题:$P$点为正五边形$ABCDE$外接圆弧EA上一点,求证:$PA+PC+PE=PB+PD$。
snap.gif
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应该是用托勒密定理吧。
简单情形是圆内接正三角形的那个结论。

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回复 2# Tesla35

正三角形那个太简单了,没想到还有五边形的,美妙,不知还会不会有 2n-1 边形的结论?

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P.png
2014-3-19 17:58

@kuing

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终于想到了不用计算的纯几何证法……

QQ截图20140319190648.png
2014-3-19 19:08


如图,作正五边形 $EPQRS$,由角度关系易知 $Q$, $R$, $S$ 分别在 $PB$, $PC$, $PD$ 上,于是易证 $\triangle EPA\cong\triangle ESD$, $\triangle EQB\cong\triangle ERC$,从而 $PA+PC+PE=SD+PR+RC+PQ=SD+PS+QB+PQ=PD+PB$。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 realnumber 于 2014-3-19 19:24 编辑

三角形也发下或连接,给几何菜鸟也领略下~~~
又真的很神奇,不要停,还有楼上说的2n-1边什么的.
此贴收录到余烬精华收集贴

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回复 6# realnumber

三角形的:
QQ截图20140319192701.gif
2014-3-19 19:27


其实我上面作正五边形也是受了这个的启发
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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托勒密定理,
复数可以不?

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回复 5# kuing
这些辅助线,只有你想得出来!

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乌贼怎么还不上来做这道几何题?

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回复 5# kuing
漂亮

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本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:27 编辑

回复 6# realnumber

此题很成熟,很早很早就被破得稀里哗啦~
故,正2n-1边形是成立的,奇和=偶和。此时,纯几何与Plolemy就太麻烦了。

这个最后给个5边形的例子咯。





哇,这个砖引来好多玉~




说来惭愧啊,初见时,我随手画了两下,这个线段和太难构造了,就直接三角函数了!后见一种对称法……,就丢了上来,准备给大家欣赏的,(但,kuing在5楼的纯几何完全是无字证明,也厉害)。

再后,用Plolemy定理+分析法得到个证明过程,比4楼Tesla35复杂些,用正五边形两对角形线比代换而来。



回到开始,三角法倒是简单,如,五边形时(正2n-1边形,类似):字母不防按逆时针排列:

$P$点为正五边形$ABCDE$外接圆弧EA上一点,求证:$PA+PC+PE=PB+PD$。

令$弧{PA}\stackrel{m}{=}2\alpha$,不防设正$\triangle ABC$外接圆的直径为1,则有

\begin{align*}
&PA+PC+PE-PB-PD\\
&=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)-\sin \biggl(\dfrac{\pi}{5}+\alpha\biggr)-\sin \biggl(\dfrac{3\pi}{5}+\alpha\biggr)\\
  &=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{6\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{8\pi}{5}+\alpha\biggr)\tag{1} \label{eq01}\\
  &=\sin \alpha +\sin \biggl(\dfrac{2\pi}{5}+a\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{8\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{4\pi}{5}+\alpha\biggr)+\sin \biggl(\dfrac{6\pi}{5}+\alpha\biggr)\\
  &=\sin \alpha +2\sin (\pi+\alpha)\cos\biggl(-\dfrac{3\pi}5\biggr)+2\sin (\pi+\alpha)\cos\biggl(-\dfrac{\pi}5\biggr)\\
  &=\sin \alpha -2\biggl(\cos\dfrac{3\pi}5+\cos \dfrac{\pi}5\biggr)\sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -4\cos\dfrac{2\pi}5 \cos \dfrac{\pi}5 \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{2\cos\dfrac{2\pi}5 \cdot 2\cos \dfrac{\pi}5 \sin \dfrac{\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{2\cos\dfrac{2\pi}5\sin \dfrac{2\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=\sin \alpha -\dfrac{\sin \dfrac{4\pi}5}{\sin \dfrac{\pi}5} \sin \alpha\\
  &=0\\[3em]
  \Rightarrow &PA+PC+PE=PB+PD
\end{align*}

其实 \eqref{eq01} 恒为零,包括其推广式,也就是正2n-1边形时。

正因为如此,所以复数法理论没问题,特别是一般情形。

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本帖最后由 乌贼 于 2014-3-19 22:21 编辑

没5楼巧,硬构
过$B$点作$AP$的平行线交$EP$的延长线于$Q$,$BQ$交圆于$H$,在劣弧$AB$上
取一点$F$,使$DP=BF$,延长$EF$交$QB$延长线于$G$。
易证$BF//AH//EP,\triangle AFB\cong\triangle BHC\cong\triangle CPD,\triangle PBQ,\triangle QEG,\triangle BFG$为等腰三角形,$AHQP$为平行四边形
$AP+CP+DP=GB+BH+HQ=GQ=QE=EP+PQ=EP+BP$
另外用几何画板怎么画正五边形啊!
211.png
2014-3-19 22:15

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本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:35 编辑

回复 7# kuing

我喜欢形外辅助线多一点,最重要的原因,考场上好使,哈哈。

(形内形外辅助线,无非线段和差角度不同,无所谓啦)



三角形中,Polemy定理直接秒(具体略):
$P$点为正三角形$ABC$外接圆弧$CA$上一点,求证:$PA+PC=PB$。

一般说,将BP分得的两个三角形,绕(P所对的顶点,其实三角形的随便某个顶点均可)旋转$60^\circ$即可,方向,是让等边三角形的边能重合。


snap-trg.png
2014-3-19 21:57




由于$\angle PAB+ \angle PCB=180^\circ$,
故如图,点$A'$在PC直线上,容易得到正三角形$PBA'$.
于是$PA+PC=CA'+PC=PA'=PC$.





还有另一个辅助的由来法,这个用的人好像不多,就是再作圆(在很多圆的题中,很有效,如蝴蝶定理,很多证明就是再构造个圆)。


snap-trg01.png
2014-3-19 22:17


如以A为圆,AP为半径,交PC直线于D,则阴影为正三角形,红蓝两三角形全等。

如果选择与BP的交点便是kuing的图。







将A,B,C平等对待,以上各法,其实均可看到作圆。
(第一个旋转可以看到以B为圆心,BP为半径交PC延长线)



snap-trg02.png
2014-3-19 22:35

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回复 13# 乌贼


    尺规作图法,如果不记得了,直接108度旋转某个点啊。

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回复 15# isee
谢谢

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原来也是被玩烂了的东西……我还是第一次见,惭愧……

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本帖最后由 isee 于 2014-3-19 22:25 编辑

回复 17# kuing

几何经典太多,数学就像时装,周而复始,时尚也。

没什么大小了的,喜欢就好,最惊喜的是,网上基本流行均是Polemy定理的证法。

这纯几何多爽啊

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看到4#那个,觉得推广方向应该是这样

$PA+PB=\frac{-1+√5}{2} PD$

$PC+PE=\frac{1+√5}{2} PD$

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本帖最后由 isee 于 2014-3-20 00:56 编辑

回复 14# isee


因此,转载一个五边形形外
作法,by 国立台湾师大附中王启光
snap-ptg01.png

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