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[函数] 来自人教群的 $\cdots\le e^{cx^2}$ 恒成立求参数范围

教师冯加明(1217*****)  15:25:08
KK看下这个问题,除了展开式,还有没有其他方法
QQ图片20140317184304.jpg
2014-3-17 18:43

题目:对任意实数 $x$,$(e^x+e^{-x})/2\leqslant e^{cx^2}$ 恒成立,求实数 $c$ 的条件。

又是一个不断求导的栗子。


\[f(x)=e^{cx^2}-\frac12(e^x+e^{-x}),\]
显然 $f(x)$ 为偶函数,故只需考虑 $x\geqslant 0$ 的情况即可。求导得
\begin{align*}
f'(x)&=2cxe^{cx^2}-\frac12(e^x-e^{-x}),\\
f''(x)&=2ce^{cx^2}(1+2cx^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),
\end{align*}
假如 $f''(0)<0$,因为 $f'(0)=0$,则存在 $\veps>0$ 使得当 $x\in(0,\veps)$ 时恒有 $f'(x)<0$,又 $f(0)=0$,那么当 $x\in(0,\veps)$ 时将有 $f(x)<0$,此时不等式不成立,由此可见必须有 $f''(0)\geqslant 0$,即 $c\geqslant 1/2$。

而当 $c\geqslant 1/2$ 时,我们有
\[f''(x)=2ce^{cx^2}(1+2cx^2)-\frac12(e^x+e^{-x})\geqslant e^{x^2/2}(1+x^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),\]

\[g(x)=e^{x^2/2}(1+x^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),\]
求导得
\begin{align*}
g'(x)&=e^{x^2/2}x(3+x^2)-\frac12(e^x-e^{-x}),\\
g''(x)&=e^{x^2/2}(3+6x^2+x^4)-\frac12(e^x+e^{-x}),
\end{align*}
当 $0\leqslant x<1$ 时,有
\[g''(x)>3-\frac12(e+1)>0,\]
当 $1\leqslant x<2$ 时,有
\[g''(x)>10-\frac12(e^2+1)>0,\]
当 $2\leqslant x$ 时,有
\[g''(x)=e^x-\frac12(e^x+1)>0,\]
故对任意 $x\geqslant 0$ 都有 $g''(x)>0$,又 $g'(0)=0$,故 $g'(x)\geqslant0$,又 $g(0)=0$,故 $g(x)\geqslant 0$,所以 $f''(x)\geqslant g(x)\geqslant0$,又 $f'(0)=0$,故 $f'(x)\geqslant 0$,又 $f(0)=0$,故 $f(x)\geqslant 0$,所以此时不等式恒成立。

综上所述,$c$ 的取值范围是 $[1/2,+\infty)$。
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口号:珍爱生命,远离考试。

战巡会不会又双曲函数一下击中呢?

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之前我也整理过这种,都是先利用等号成立的条件或是区间的端点寻求必要性,进而证明充分性。

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回复 3# 第一章

常规套路之一
这次之所以写下来,是因为求导次数有点多,实际上是已经求到四阶导数了

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kk在空间普及一下啊

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回复 5# 第一章

野猪已经写过了,大概是总第三期的时候。

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刚发现,充分性的证明可以简单些。

当 $c\geqslant 1/2$ 时,令
\[h(x)=e^{cx^2+x}-\frac12(e^{2x}+1),\]
只要证明当 $x\geqslant 0$ 时 $h(x)\geqslant 0$,求导得
\[h'(x)=e^{2x}\bigl(e^{cx^2-x}(2cx+1)-1\bigr)\geqslant e^{2x}\bigl(e^{x^2/2-x}(x+1)-1\bigr),\]
因为 $h(0)=0$,故只要证明 $e^{x^2/2-x}(x+1)\geqslant 1$,取对数即证
\[\frac{x^2}2-x+\ln (x+1)\geqslant 0,\]

\[k(x)=\frac{x^2}2-x+\ln (x+1),\]

\[k'(x)=x-1+\frac1{x+1}=\frac{x^2}{x+1}\geqslant 0,\]
故 $k(x)\geqslant k(0)=0$,即得证。

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直接分离出c不行?只是随便问问,未思考

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回复 8# isee

分离 c 大概得用洛必达找必要条件了……

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回复 9# kuing

明白意思了~

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回复 7# kuing

用这个 h(x) 看来还不需要先找必要性再证充分性那么麻烦,可以直接将单调性确定下来……

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本帖最后由 realnumber 于 2014-3-17 23:45 编辑

找必要条件也可以这样,两边取对数,设$f(x)=cx^2-\ln{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$,
又$f(0)=0$,$f(x)\ge0,x\in R$成立的一个必要条件是$f'(x)\ge0,x\in{[0,ε]}$,ε是一个确定的足够小的正实数.
\[f'(x)=2cx-1+\frac{2}{1+e^{2x}}\]
\[那么有f'(x)=2cx-1+\frac{2}{1+e^{2x}},f'(0)=0\]
\[f''(x)=2c-\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2},f''(0)\ge0,得到c\ge0.5\]
充分性的证明也是用这个函数.

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回复  isee

分离 c 大概得用洛必达找必要条件了……
kuing 发表于 2014-3-17 22:29



果断罗比达啦,怕什么啊..........变成求$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cosh(x))}{x^2}$,马上得$c\ge \frac{1}{2}$

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果断罗比达啦,怕什么啊..........变成求$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cosh(x))}{x^2}$,马上得$c ...
战巡 发表于 2014-3-18 09:33

来两次罗比达,可以得答案。以上各位方法都不错。

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回复 13# 战巡


    怎么样严格看出是递减的?包括楼上的其妙

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回复 15# isee

什么严格递减???

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本帖最后由 isee 于 2014-3-19 00:36 编辑

回复 16# 战巡


    原不等式,等价转换后为$\forall x\in(0,+\infty),\dfrac{\ln(\cosh(x))}{x^2}\leqslant c$。即求函数$y=\dfrac{\ln(\cosh(x))}{x^2}$的最大值。

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回复 17# isee

用洛必达只是求在0处的极限,得到一个必要条件,要证明递减可能比较难……

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回复 18# kuing

我想能不能省一步来着。

我才明白你们的表述的意思。


DZ的回复帖很容易看错回复楼层的ID。
如13楼,战巡主要是顺你的话说的(一个必要条件),而我以为是顺我的话,分离后,就能“一击即可”

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回复 19# isee

嗯,因为引用的时候将“回复XXX”也放里面了

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