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[函数] 呐什么是双曲线吧

本帖最后由 isee 于 2014-3-17 13:55 编辑

对勾函数$f(x)=ax+\dfrac bx(a>0,b>0)$,其实就是双曲线吧?
经常用其单调性及中心对称,偶尔被质疑一下,是不是轴对称的,一时懵了。

旋转坐标是怎么来着?路过的,肯定或否定一下:对勾函数$f(x)=ax+\dfrac bx(a>0,b>0)$也是轴对称的。
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曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\alpha)=0$。

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翻了一下甲种本人教老教材的电子版平面解析几何,第145页,一般二次方程的讨论。

$y=ax+\dfrac bx\Rightarrow ax^2-xy+b=0,B^2-4AC=1-0>0$,故,这里回答是:肯定。

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曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\ ...
kuing 发表于 2014-3-17 14:16


自从高考不考这些玩意后,就完全生了……

现行2004年审订的人教教材B版,必修4里倒是有这个旋转公式……

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翻了一下甲种本人教老教材的电子版平面解析几何,第145页,一般二次方程的讨论。

$y=ax+\dfrac bx\Rightar ...
isee 发表于 2014-3-17 14:22


要用个这个甲种本教材的人,肯定都不小了。

二次方程一般结果:
snap.png

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哦,二元……少了两字

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\begin{align*}
& ax^2-xy+b=0 \\
\longrightarrow{} & a(x\cos\alpha+y\sin\alpha)^2-(x\cos\alpha+y\sin\alpha)(y\cos\alpha -x\sin\alpha)+b=0 \\
\iff{} & (a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)x^2+(a\sin^2\alpha-\sin\alpha \cos\alpha)y^2+(2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)xy+b=0,
\end{align*}
当 $2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0$ 时
\begin{align*}
&(a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)(a\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) \\
={}&\frac14(2a\sin\alpha\cos\alpha+2\sin^2\alpha)(2a\sin\alpha\cos\alpha -2\cos^2\alpha) \\
={}&\frac14(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha -\sin^2\alpha-2\cos^2\alpha) \\
={}&{-}\frac14,
\end{align*}
因 $2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0$ 必有解,故若 $b\ne0$,则此时必为双曲线。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\ ...
kuing 发表于 2014-3-17 14:16


好不习惯,你旋转的是图象,我看的是旋转坐标,

不过,kuing 真是了得,这还记得

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回复 8# isee

将坐标系旋转?那就将 $\alpha$ 变成 $-\alpha$ 就行了吧……

不过,其实我是不记得的,临时推……

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本帖最后由 isee 于 2014-3-17 15:02 编辑

回复 9# kuing


    是这样子,不过,无所谓了,一个顺一个逆。


哈哈,原来也是现炒现卖

\begin{align*}
&(a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)(a\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) \\
={}&\frac14(2a\sin\alpha\cos\alpha+2\sin^2\alpha)(2a\sin\alpha\cos\alpha -2\cos\alpha^2)
\end{align*}

怎么代换的?书写有误吧

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回复 10# isee

没错的,拿一个过去,拿一个回来

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回复 10# isee

噢,原来是最后一项的平方写错了位置,我改一下

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