下午555发我的一道题，据说是初中希望杯？

以前做过类似的题，不过以前那个是零点在 (0,1) 内，于是为了转化为那个，就得到了如下解法。

解：因为 $a$, $b$, $c$ 都是正整数，故 $x_1$, $x_2$ 必然都是负的，由条件，不妨设 $x_1<x_2<-1$。

因为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1$, $x_2$，所以方程 $a/x^2-b/x+c=0$ 的两根为 $-1/x_1$, $-1/x_2$，令 $x_1'=-1/x_1$, $x_2'=-1/x_2$，则方程 $cx^2-bx+a=0$ 的两根为 $x_1'$, $x_2'$ 且 $0<x_1'<x_2'<1$。（转化成功）

由此可设 $f(x)=cx^2-bx+a=c(x-x_1')(x-x_2')$，因为 $a$, $b$, $c$ 都是正整数且 $0<x_1'<x_2'<1$，故此必有 $f(0)\geqslant 1$ 且 $f(1)\geqslant 1$，即 $cx_1'x_2'\geqslant 1$ 且 $c(1-x_1')(1-x_2')\geqslant 1$，两式相乘再由均值不等式（注意等号不能同时取得）得
\[1\leqslant c^2x_1'(1-x_1')x_2'(1-x_2')<c^2\left( \frac{x_1'+1-x_1'}2 \right)^2\left( \frac{x_2'+1-x_2'}2 \right)^2=\frac{c^2}{16},\]
所以 $c>4$，即 $c\geqslant 5$。又 $b^2>4ac\geqslant 20$ 得 $b\geqslant 5$，故此 $abc\geqslant bc\geqslant 25$，当且仅当 $a=1$, $b=c=5$ 时取等。