居然取不了等?
设 $BC$ 中点为 $D$,则
\[AB\cdot PE+AC\cdot PF=2S=BC\cdot AD\riff PE+PF=\frac{BC\cdot AD}{AB}=BC\sin B,\]
又
\[PA+BC\geqslant AD+BC=\frac{BC}2\tan B+BC,\]
故
\begin{align*}
\frac{PA+BC}{PE+PF}&\geqslant \frac{\frac12\tan B+1}{\sin B} \\
& =\frac12\left( \frac1{\cos B}+\frac2{\sin B} \right) \\
& =\frac12\left( \frac{1^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B}}+\frac{(2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\sin ^2B}} \right) \\
& \geqslant \frac12\cdot \frac{(1+2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B+\sin ^2B}} \\
& =\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2,
\end{align*}
所以
\[PA+BC\geqslant\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2(PE+PF),\]
其中右边的系数约为 $2.08$,比 $2$ 大一点点。 |