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[几何] (z)一个平几题

广东广州程汉波(28-----79)  21:53:54

QQ图片20140310232831.jpg
2014-3-15 21:58
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这个很简单吧,由面积关系知右边为定值,而左边当 P 为 BC 中点时最小,所以只要证明当 P 为 BC 中点的情况即可。

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居然取不了等?

设 $BC$ 中点为 $D$,则
\[AB\cdot PE+AC\cdot PF=2S=BC\cdot AD\riff PE+PF=\frac{BC\cdot AD}{AB}=BC\sin B,\]

\[PA+BC\geqslant AD+BC=\frac{BC}2\tan B+BC,\]

\begin{align*}
\frac{PA+BC}{PE+PF}&\geqslant \frac{\frac12\tan B+1}{\sin B} \\
& =\frac12\left( \frac1{\cos B}+\frac2{\sin B} \right) \\
& =\frac12\left( \frac{1^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B}}+\frac{(2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\sin ^2B}} \right) \\
& \geqslant \frac12\cdot \frac{(1+2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B+\sin ^2B}} \\
& =\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2,
\end{align*}
所以
\[PA+BC\geqslant\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2(PE+PF),\]
其中右边的系数约为 $2.08$,比 $2$ 大一点点。

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不知道这个程汉波是不是华师那个

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回复 4# isee
嗯,杨春波是外语校的那个

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提问者,有没给答案?

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本帖最后由 踏歌而来 于 2014-3-18 12:30 编辑

初步判断,这个等号是错误的。

理由如下:
从欲证的  式子 PA+BC≥2(PE+PF)
可以知道 就是要证 PA+BC的最小值为 2(PE+PF)。

BC是定值,PA只有垂直于BC,也就是说PA是BC的高线时,才能取得最小值。

下面我们可以简单地验算一下。
$假设 AB=AC=6,BC=10,$
$BC的中点为D。$
$当P运行到D时,即为所求,$
$此时,AD=\sqrt{11},AP=AD,AP+BC=AD+BC=\sqrt{11}+10。$
$而PE+PF就是AC、AB上的高,设为h$
$BC×AD=AC×h,h=\frac{5\sqrt{11}}{3}$
$2(PE+PF)=2h=\frac{10\sqrt{11}}{3}。$
$显然 \sqrt{11}+10≠\frac{10\sqrt{11}}{3}。$

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回复 7# 踏歌而来

2 是取不到,我上面已经证明了。
不过取不到的理由并不是你这样去论证的。

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不是去论证,只是取一个反例。

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回复 9# 踏歌而来

问题是你举的例子并不能说明取不到 2

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太坑了,居然还用权方和,

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原来是这题是 Erdős–Mordell 不等式的特殊情况,但等号取不到。

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本帖最后由 isee 于 2014-4-2 12:09 编辑

原来是这题是 Erdős–Mordell 不等式(注意P亦可以在三角形边界上,几个链接都没说到这点)的特殊情况,但等号取不到。

http://kuing.orzweb.net/viewthre ... p;extra=&page=3


当然3楼 kuing 已经给了此题的下界

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回复 3# kuing

$\frac 32$,是空间里等号成立的时候吧?不确定

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回复 14# isee

没懂
I am majia of kuing

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回复 15# 爪机专用


    将 Erdős–Mordell 不等式 推广到空间

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回复 16# isee

不了解
I am majia of kuing

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