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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» (z)一个自然对数不等式
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realnumber
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发表于 2014-3-15 18:56
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只看该作者
[不等式]
(z)一个自然对数不等式
江苏南京冯加明(12-----96) 18:36:40
本题除了加权琴生不等式,还可以怎么证?
2014-3-15 18:55
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kuing
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发表于 2014-3-15 19:12
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只看该作者
\begin{align*}
x\ln \frac xa+y\ln \frac yb\geqslant (x+y)\ln \frac{x+y}{a+b} &\iff \frac{x^xy^y}{a^xb^y}\geqslant \left( \frac{x+y}{a+b} \right)^{x+y} \\
&\iff \frac{(xy)^{x+y}}{(ay)^x(bx)^y}\geqslant \left( \frac{x+y}{a+b} \right)^{x+y} \\
&\iff \left( \frac{xy(a+b)}{x+y} \right)^{x+y}\geqslant (ay)^x(bx)^y \\
&\iff \frac x{x+y}ay+\frac y{x+y}bx\geqslant (ay)^{x/(x+y)}(bx)^{y/(x+y)},
\end{align*}
令 $x/(x+y)=\lambda\in(0,1)$, $ay=A$, $bx=B$,上式即
\[\lambda A+(1-\lambda)B\geqslant A^\lambda B^{1-\lambda} ,\]
也就是加权均值不等式了,导数神马的随便证……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2014-3-15 19:22
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加权均值能变成这么有型的对数不等式,也算是命题者的本事……
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发表于 2014-3-15 20:27
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只看该作者
这不是young不等式吗?
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发表于 2014-3-15 20:50
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只看该作者
本帖最后由 realnumber 于 2014-3-15 20:52 编辑
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4#
其妙
2014-3-15 20:50
换元一样
又,kk威武~~~~
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kuing
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发表于 2014-3-15 20:55
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只看该作者
名称没所谓,都是一样的东西
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其妙
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发表于 2014-3-15 21:42
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名称没所谓,都是一样的东西
kuing 发表于 2014-3-15 20:55
,又kk勇猛~~~~!
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