免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] (z)一个自然对数不等式

江苏南京冯加明(12-----96)  18:36:40
本题除了加权琴生不等式,还可以怎么证?
QQ图片20140310232831.jpg
2014-3-15 18:55
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

\begin{align*}
x\ln \frac xa+y\ln \frac yb\geqslant (x+y)\ln \frac{x+y}{a+b} &\iff \frac{x^xy^y}{a^xb^y}\geqslant \left( \frac{x+y}{a+b} \right)^{x+y} \\
&\iff \frac{(xy)^{x+y}}{(ay)^x(bx)^y}\geqslant \left( \frac{x+y}{a+b} \right)^{x+y} \\
&\iff \left( \frac{xy(a+b)}{x+y} \right)^{x+y}\geqslant (ay)^x(bx)^y \\
&\iff \frac x{x+y}ay+\frac y{x+y}bx\geqslant (ay)^{x/(x+y)}(bx)^{y/(x+y)},
\end{align*}
令 $x/(x+y)=\lambda\in(0,1)$, $ay=A$, $bx=B$,上式即
\[\lambda A+(1-\lambda)B\geqslant A^\lambda B^{1-\lambda} ,\]
也就是加权均值不等式了,导数神马的随便证……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

加权均值能变成这么有型的对数不等式,也算是命题者的本事……

TOP

这不是young不等式吗?

TOP

本帖最后由 realnumber 于 2014-3-15 20:52 编辑

回复 4# 其妙
QQ图片20140310232831.jpg
2014-3-15 20:50
换元一样

又,kk威武~~~~

TOP

名称没所谓,都是一样的东西

TOP

名称没所谓,都是一样的东西
kuing 发表于 2014-3-15 20:55

,又kk勇猛~~~~!

TOP

返回列表 回复 发帖