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[函数] 三角形内角互余问题

山西-宋慧军(145----25)  17:52:00
三角形中sinA/cosB+sinB/cosA=2,能否得出A,B互余?我感觉得不出,当A=120'时,我算了一下B,觉得有解,除非我算错
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江苏宋书华(6------6) 18:03:17
QQ图片20140310232831.jpg
2014-3-15 18:21

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回复 3# kuing
5555居然没认出来.

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好象有些不一样,范围扩大了,不再单调~~

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源自知乎提问,终于把这个经典题补了三角过程。

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题:在 $\triangle ABC$ 中满足 $\frac {\cos A}{\sin B}+\frac {\cos B}{\sin A}=2$ (或 $\frac {\sin A}{\cos B}+\frac {\sin B}{\cos A}=2$,)则 $C=90^\circ.$

积化和差,和差化积

\begin{gather*} \frac {\cos A}{\sin B}+\frac {\cos B}{\sin A}=2\\[1em] \sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B\\[1em] \sin (A+B)\cos(A-B)=-\cos (A+B)+\cos (A-B)\\[1em] (\sin C-1)\cos (A-B)=\cos C\\[1em] (1-\sin C)^2\cos^2 (A-B)=\cos^2 C=1-\sin^2 C, \end{gather*}

若 $\sin C=1,$ 则命题成立. 若 $\sin C\ne 1,$ 注意 $\cos^2 (A-B)\leqslant 1,$ 则

\begin{gather*} (1-\sin C)\cos^2 (A-B)=1+\sin C\leqslant 1-\sin C\\[1em] \Rightarrow {~}\sin C\leqslant 0. \end{gather*}

这与 $C$ 是三角形内角矛盾,综上所述,必有 $\sin C=1, $ 即 $C=\frac {\pi}2.$

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题中括号里的条件处理方式如上依照处理即可.

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江苏宋书华(6------6) 18:03:17
realnumber 发表于 2014-3-15 18:21


是哦,也可以直接解不等式,倒数第四行~

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回复 8# kuing

很赞~  {:大拇指:} <- 话说,这个表情去哪儿了?

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回复 9# isee

可以用 [ 强 ] 打出来(去掉空格

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回复 10# kuing


木想到了,原来是[${~}$强${~}$]

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回复 11# isee

参照QQ表情的命名,[ 呲牙 ]、[ 色 ] 等都可以。
这种仅限旧版QQ表情,新的没弄,因为后来发现可以直接用Qzone的图(http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=13#pid33560

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