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[不等式] 来自人教群的不等式有非零实数解求参数最大

教师-王(8506****)  16:38:37
请教一题,希望不要用复杂的求导
QQ图片20140314172544.jpg
2014-3-14 17:25


教师-王(8506****)  16:52:25
答案是
QQ图片20140314173549.jpg
2014-3-14 17:35

比较恐怖

先求
\[y=\bigl(1+\sqrt x\bigr)\sqrt{\frac x{x-1}}\quad (x>1)\]
的最小值。令 $\sqrt x=1+t$, $t>0$,则
\[y^2=\bigl(1+\sqrt x\bigr)^2\frac x{x-1}=\frac{\bigl(1+\sqrt x\bigr)x}{\sqrt x-1}=\frac{(2+t)(1+t)^2}t=\frac2t+5+4t+t^2,\]
待定 $\lambda>0$,由均值有
\[\frac2t+5+4t+t^2=\frac2t+2\lambda^2t+(t+2-\lambda^2)^2-(2-\lambda ^2)^2+5\geqslant 4\lambda -(2-\lambda^2)^2+5,\]
为取等,令 $\lambda t=1$ 且 $t+2-\lambda ^2=0$,消 $t$ 并因式分解得$(1+\lambda)(\lambda^2-\lambda -1)=0$,故解得
\[\lambda =\frac{\sqrt5+1}2,\]
从而
\[y^2\geqslant 2\bigl(\sqrt5+1\bigr)-\left( \frac{1-\sqrt5}2 \right)^2+5=\frac{11+5\sqrt5}2,\]

\[\frac1y\leqslant \sqrt{\frac2{11+5\sqrt5}},\]
上式右边就是 $a$ 的最大值。

(注:与提问人提供的答案是相同的,但是我觉得这个结果也蛮简洁,答案也一样有重根号,所以就懒得化简过去了)
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