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[几何] 广州一模双曲线题不计算

\(\require{cancel}\)
QQ图片20140314021059.jpg
2014-3-14 02:12

题目:已知双曲线 $E:x^2/a^2-y^2/4=1$($a>0$)的中心为原点 $O$,左,右焦点分别为 $F_1$, $F_2$,离心率为 $3\sqrt5/5$,点 $P$ 是直线 $x=a^2/3$ 上任意一点,点 $Q$ 在双曲线 $E$ 上,且满足 $\vv{PF_2}\cdot\vv{QF_2}=0$。

(1)求实数 $a$ 的值;

(2)证明:直线 $PQ$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积是定值;

(3)若点 $P$ 的纵坐标为 $1$,过点 $P$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同两点 $M$, $N$,在线段 $MN$ 上取异于点 $M$, $N$ 的点 $H$,满足 $PM/PN=HM/HN$,证明点 $H$ 恒在一条定直线上。

解:
(1)易求得 $a=\sqrt5$,从而可知 $P$ 在双曲线的右准线上;

(2)先证明 $PQ$ 必为双曲线的切线。

用反证法,如果直线 $PQ$ 与双曲线还有另一公共点 $R$,作 $RS\perp PF_2$ 于 $S$,再分别作 $RR'$, $QQ'$ 垂直于右准线,如图所示。
QQ截图20140314021019.gif
2014-3-14 02:12

因 $S$ 必异于 $F_2$,故有 $RF_2>RS$,而由第二定义有
\[\frac{RF_2}{QF_2}=\frac{RR'}{QQ'}=\frac{PR}{PQ}=\frac{RS}{QF_2}\riff RF_2=RS,\]
矛盾,从而 $PQ$ 必为双曲线的切线。

既然是切线,那么若 $Q(x_0,y_0)$,则 $PQ:x_0x/a^2-y_0y/b^2=1$,即 $k_{PQ}=b^2x_0/(a^2y_0)$,而 $k_{OQ}=y_0/x_0$,所以 $k_{PQ}\cdot k_{OQ}=b^2/a^2$ 为定值;

(3)设 $MN$ 与直线 $F_2Q$ 交于 $K$,分别作 $MM'$, $NN'$ 垂直于右准线,再分别作 $MM''$, $NN''$ 垂直于直线 $PF_2$,如图所示。
QQ截图20140314021044.gif
2014-3-14 02:12

由第二定义有
\[\frac{MF_2}{NF_2}=\frac{MM'}{NN'}=\frac{PM}{PN}=\frac{MM''}{NN''},\]
因此
\[\triangle F_2MM'' \sim \triangle F_2NN'' \bcancel{\riff \angle MF_2M'' = \angle NF_2N''},\]
又因为 $KF_2\perp PF_2$,$\bcancel{可见 F_2K 为 \triangle F_2MN 的内角平分线,故由内角平分线定理得}$,故
\[\frac{KM}{KN}=\frac{F_2M''}{F_2N''}=\frac{MF_2}{NF_2}=\frac{PM}{PN},\]
因此题目中的 $H$ 实际上就是 $K$,所以 $H$ 恒在直线 $F_2Q$ 上。
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PS、以上这些如无意外都没有新鲜的东西,除了那条切线方程的公式外,大概都是两千年前就被玩烂了,我只是闲着写写……

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第二问证切线在前年我玩高考题时也类似地玩过, 那题是椭圆。
至于第三问的背景显然又是极点极线, 由于F2Q与双曲线的另一个交点与P的连线也是切线, 即F2Q就是切点弦所在直线, 亦即F2Q为P的极线, 从而H就是那交点。
I am majia of kuing

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回复 2# kuing
\[\triangle F_2MM'' \sim \triangle F_2NN'' \riff \angle MF_2M'' = \angle NF_2N'',\]
能否优化一下,相似不是$\sim$,不应该是∽吗?
\[∽\]

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回复 5# 青青子衿
,这次是青青子衿反过来提醒kk了,以前是kk提醒青青子衿的,

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回复 2# kuing
\[\triangle F_2MM'' \sim \triangle F_2NN'' \riff \angle MF_2M'' = \angle NF_2N'',\]
能否优化一下,相似不是$\sim$,不应该是∽吗?
\[∽\]
青青子衿 发表于 2014-3-15 10:35

∽ 大概是中国式写法,在国际上,多数用 $\sim$ (\sim)。
从 TeX 代码也能看出,TeX 设计者定义的 \sim 就是相似的意思,因为它是 similar 的缩写,全等则用 $\cong$(\cong),它是 congruent 的缩写。

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中国式的写法和国标!涨姿势了

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回复 1# kuing

第三问既然证了相似又平行,就没必要再用角平分线定理了
吹毛求疵一下

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回复 9# swztk

嗯,说得对,其实作那 MM'' 和 NN'' 已经相当于将角平分定理给证了,的确无需再提角平分线定理……

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回复 10# kuing

不过造成这样也有个原因,就是我最开始写的时候并没有作 MM'' 和 NN'',而是直接由 $\frac{MF_2}{NF_2}=\frac{MM'}{NN'}=\frac{PM}{PN}$ 得出 $PF_2$ 是外角平分线,于是 $F_2K$ 就是内角平分线,然后就用内角平分线定理。但是后来又怕大家可能未必熟悉外角平分线的判定(毕竟外角平分线相对较少接触),于是就作了 MM'' 和 NN'' 来证角度相等,而却没注意到这时连内角平分线定理也不需要用。

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用删除线划掉了多余的部分……

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哪一年的?理?文?

我想找全卷做练习得了。

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回复 13# isee

就前几天,不清楚是理是文

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本帖最后由 isee 于 2014-3-17 22:38 编辑

想起来了,广州高三模拟要早一些。

此题是 2014年3月的

广东省广州市2014年普通高中毕业班综合测试数学(理科)试题

的第20题

找到了,THX,不过,好像还没整卷答案共享~自己动手,丰衣足食~

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