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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 连续三项等差数列和,一定不成等比数列
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发表于 2014-3-12 18:39
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居然还可以隐藏代码?%的作用就是隐藏?
感觉就是数列的凸性。
假如$S_n>0$,那么$S_{n+1}^2-S_nS_{n+2}\geqslant0(或\leqslant0)$等价于$2\ln{S_{n+1}}\geqslant(或\leqslant)\ln{S_n}+\ln{S_{n+2}}$,
当且仅当$\{\ln{S_n}\}$成等差数列时取等号,即$\ln{S_n}=kn+b$,即$S_n=e^{kn+b}$,显然这不可能取等号。
对于$S_n<0$,这里不讨论了,虽然取对数要求真数大于0,但在某些时候……
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发表于 2014-3-12 23:33
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4#
删广告专用
那就$S_n$取绝对值嘛。
即$\{\ln|{S_{n}}|\}$成等差数列时取等号,即$|\ln{S_n}|=kn+b$ ,
即$|S_n|=e^{kn+b}$ ,显然这不可能取等号。
另外,具体的题肯定有具体的方法,这里我是说一般的数列。
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发表于 2014-3-13 00:01
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7#
删广告专用
如果存在那几项(至少3项),根据凸性结论证明过程,那几项(至少3项)取对数仍然成等差。
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发表于 2014-3-13 20:19
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将等差数列的和换成等比数列的和也可以
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发表于 2014-3-13 20:38
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28#
踏歌而来
参看3,5,7楼,
注意:3,5,7楼说的不够严谨(应该适当地组织一下语言,使之完美无缺),如果你放弃严谨性看的话你就明白了。
例如:$S_n$是等比数列的前$n$项和,求证:任意正整数$n$,$S_n$ ,$S _{n+1} ,S_{n+2} $ 不构成等比数列.
过些时间发解答,对象是三流普高的学生,越简单越好.
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