[几何] 请大师们看看如下的一道几何题

踏歌而来

E,F是边长为3的正方形ABCD的边AD上两个点，且AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若CH:CE=9：10，则AE=？

踏歌而来

回复 3# 战巡

您很厉害！谢谢您！
请问如果不用余弦定理，是否可以求出。
因为这是一道初中数学的几何填空题。
从人教初中论坛上获得的。

踏歌而来

我试了下暴力方法。
设CE=10m，CH=9m，AE=x
过E作EL垂直BC于L，过H作MN垂直BC交AD于M，BC于N。
在Rt△ABE中，BE＝√（9＋x^2），HE＝AE^2/BE=X^2/√(9+x^2)。
而sin∠AEB＝3/√(9+x^2)，cos∠AEB＝x/√(9+x^2)，
ME＝HEcos∠AEB＝x^3/(9+x^2)，
HM＝HEsin∠AEB＝3x^2/(9+x^2)，
所以有
由勾股定理HN^2+NC^2=CH^2,即
[3－3x^2/(9+x^2)]^2+[3-X+x^3/(9+x^2)]^2=(9m)^2  ①
由勾股定理EL^2+LC^2=EC^2，即
9＋(3－x)^2=(10m)^2  ②
联立①、②，从理论上可以求出x。

踏歌而来

也许，实际上解不出来。
我再换成角度，看看是否可行。

延长$AG交CD于P，令∠DAP＝θ$，
由正方形的对称性可知，$AE＝DP＝ADtanθ＝3tanθ，BE＝AP＝AD/cosθ＝3/cosθ$，
$HE＝AE^2/BE=(3tanθ)^2/(3/cosθ)=3(tanθ)^2cosθ$，
$MH＝HEcosθ＝3(tanθ)^2(cosθ)^2，ME＝HEsinθ＝3(tanθ)^2cosθsinθ$，
$[3-3(tanθ)^2(cosθ)^2]^2+[3-3tanθ＋3(tanθ)^2cosθsinθ]^2=(9m)^2   ①$
$(3-3tanθ)^2+3^2=(10m)^2  ②$

$①/②并化简得(cosθ)^2＝81/100，$
$cosθ＝9/10。$
后面从略。