解方程组

在实数集内，解方程组 \[ \ \left\{\begin{matrix}\left ( x+y\right )\sqrt{2xy+5}=4xy-3y+1 &\\ \left ( x+2y\right )\sqrt{2xy+5}=6xy+x-7y-6 &\end{matrix}\right. \]

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战巡

2^#

发表于 2014-3-8 03:09 | 只看该作者

回复 1# longzaifei

其实也没什么难的，硬来就好了
换元$\sqrt{2xy+5}=b$，则有$y=\frac{b^2-5}{2x}$
方程变为：
\[\begin{cases}
(x+\frac{b^2-5}{2x})b=4x\frac{b^2-5}{2x}-3\frac{b^2-5}{2x}+1 \\
(x+2\frac{b^2-5}{2x})b=6x\frac{b^2-5}{2x}+x-7\frac{b^2-5}{2x}-6 \end{cases}\]
化简得到
\[\begin{cases}
\frac{2bx^2+(18-4b^2)x+(b+3)(b^2-5)}{x}=0...(1) \\
\frac{2(b-1)x^2+6(7-b^2)x+(2b+7)(b^2-5)}{x}=0...(2) \end{cases}\]
由此可知$x\ne 0$
当$b=0$时，易证方程组无解，$b\ne 0$
于是用$(1)·\frac{b-1}{b}-(2)$得到
\[\frac{[(6-2b)x+b^2-5](b^2+5b+3)}{b}=0\]
\[x=\frac{b^2-5}{2(b-3)}\]
反带回$(2)$里面化简得到
\[\frac{(b^2-5)(b-1)^2(b-5)}{2(b-3)^2}=0\]
由于$x=\frac{b^2-5}{2(b-3)}\ne 0$，可知$b^2-5\ne 0$，那么$b_1=1, b_2=5$
带回去求得
\[\begin{cases}
x_1=1 \\
y_1=-2 \end{cases}, \begin{cases}
x_2=5 \\
y_2=2 \end{cases}\]

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longzaifei