[几何] 高中圆锥曲线的一个延伸理论

lio

即若直线l:my+nx=1 与曲线C:Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0相交于不同两点，则两点的坐标满足关于x，y的齐次方程：Ax²+Bxy+Cy²+（Dx+Ey）（my+nx）+F（my+nx）²=0，它的理论依据是什么？求指教。

kuing

那个齐次方程可以整理为
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F+(my+nx-1)\bigl(Dx+Ey+F(my+nx+1)\bigr)=0\]
故交点必在其上……

其妙

回复 2# kuing
牛笔！这个等价变形真的厉害！

其妙

回复 1# lio
这种齐次做法在求关于斜率问题时很有效，例如原点到两个交点的斜率之和与斜率之积时非常有用。又例如垂直时挺有效的。

kuing

回复 4# 其妙

搞点实例来瞧瞧

isee

回复 5# kuing


    如果能用曲线系来解题，这根本不用看例子了。


    至少学生很难立刻上手；真是没什么的，很多时候只是一个过程的简化：将两次韦达定理合二为一。

    不多说，直接给例子吧：http://wenku.baidu.com/view/01620a30e2bd960590c677ae.html


    罗增儒教授曾经 写过 一篇叫 《心路历程：认识、反思、拓展》，即从 2007年卷理科第21题的讨论，可以看清来龙去脉。

kuing

回复 6# isee

soga

其妙

这儿也有一些实例：http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101hx96.html
或http://wenku.baidu.com/view/c214a941be1e650e52ea991d.html

lio

回复 4# 其妙
   嗯，原是在解决椭圆上任一定点与两动点连线的斜率问题。一般情况，直接解较复杂，于是，通过向原点的平移，整体变换曲线，再构造齐次式，二次方程，韦达定理求。
    见识了很多思路和表达形式，颇为受益，其本质就是联系方程，曲线纯粹完备性的一种聪明的代换吧。

lio

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[quote]牛笔！这个等价变形真的厉害！

[/quote]
daimo，必要性成立，总觉得似乎，好像，有那么一点儿不得劲儿。。。。。