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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道四元不等式
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longzaifei
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发表于 2014-3-5 08:19
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只看该作者
[不等式]
一道四元不等式
$x,y,z,w\in[-1,1] ,x+y+z+w=0,$ 证明:\[ \sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+w^2}+\sqrt{1+w+x^2}\ge 4 \]
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tommywong
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发表于 2014-3-5 09:01
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只看该作者
琴生不等式
$\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+w^2}+\sqrt{1+w+x^2} \ge 4\sqrt{1+\frac{x+y+z+w}{4}+\frac{x^2+y^2+z^2+w^2}{4}} \ge 4\sqrt{1+\frac{x+y+z+w}{4}+(\frac{x+y+z+w}{4})^2} = 4$
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longzaifei
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发表于 2014-3-5 10:20
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只看该作者
设$f(x)=\sqrt{1+x} $, 但是 $f(x) $是上凸函数,第一个不等号应该是 $\le $
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tommywong
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发表于 2014-3-7 18:47
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只看该作者
似乎要用到这题的方法
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... %26amp%3Btypeid%3D1
但也可能是把x,y,z,w换成三角函数
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