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[几何] 南通调研的解析几何

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2014-2-25 17:41

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2014-2-25 17:41

这个题目若直接从设直线的方程入手,如何计算?
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作拉伸变换,在 $y$ 轴方向上拉长到原来的两倍(即 $y\to2y$),此时,椭圆变为圆,点 $P(1,1/4)$ 变为 $P'(1,1/2)$。
由于变换后所有直线的斜率都变为原来的两倍,而由条件知变换前 $AB\sslash CD$,所以变换后亦有 $A'B'\sslash C'D'$,由此可见 $A'B'C'D'$ 为等腰梯形,从而易知 $OP'\perp A'B'$,于是 $k_{A'B'}=-1/k_{OP'}=-2$,所以变换前 $k_{AB}=-1$。
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由以上解法可知,题目的条件是有多余成份的,比如说“$\vv{AP}=2\vv{PC}$, $\vv{BP}=2\vv{PD}$”可以弱化成“$\vv{AP}=\lambda\vv{PC}$, $\vv{BP}=\lambda\vv{PD}$”而不需要知道具体的长度比值,或者干脆直接改成  $AB\sslash CD$。椭圆的方程也不需要用到具体的数值,只要知道离心率就够了。

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