[几何] 模拟考试一向量题，收集

已知$\vv{a},\vv{b}$是平面内两个单位向量，且夹角为60°，若向量$\vv{c}$满足$\vv{c}+\vv{a}，\vv{c}+\vv{b}$共线，且方向相反，则$\abs{\vv{c}}$的最小值为________.
答案$\frac{\sqrt{3}}{2}$,几何代数都可以的.

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hongxian

2^#

发表于 2014-2-25 20:47 | 只看该作者

本帖最后由 hongxian 于 2014-2-25 20:49 编辑

$\vv{OA}=\vv{a}$,$\vv{OB}=\vv{b}$,$\vv{c}$的终点放在$O$点,则起点在直线$AB$上

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kuing

3^#

发表于 2014-2-25 23:59 | 只看该作者

教师-星变(1664****) 23:48:35

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2014-2-25 23:59

Admin-kuing 23:56:45
画个图就显然了

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2014-2-25 23:59

c 的端点在圆上动，于是最小值就是右下角的点到圆的距离，目测大概是B

PS、这题录入的也太懒了，公式中的向量，箭头没有，也没有加粗……

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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kuing

4^#

发表于 2014-2-26 17:34 | 只看该作者

回复 3# kuing

顺便补充一下这题的代数解法。

设 $\vv b-\vv c=\vv m$，代入条件中，得
\[0=\bigl(\vv a-\vv b+\vv m\bigr)\cdot\bigl(-\vv b+2\vv m\bigr)=2+\bigl(2\vv a-3\vv b\bigr)\cdot\vv m+2\vv m^2,\]
因为
\[\Bigl(\bigl(2\vv a-3\vv b\bigr)\cdot\vv m\Bigr)^2\leqslant\bigl(2\vv a-3\vv b\bigr)^2\vv m^2,\]
由条件容易计算出 $\bigl(2\vv a-3\vv b\bigr)^2=28$，故
\[\bigl(2+2\vv m^2\bigr)^2\leqslant 28\vv m^2,\]
解得
\[\frac{\sqrt7-\sqrt3}2\leqslant \bigl|\vv m\bigr|\leqslant \frac{\sqrt7+\sqrt3}2,\]
当 $2\vv a-3\vv b$ 与 $\vv m$ 共线时取等。

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