[函数] 三角 $\sin x=x\cos y$

如图

____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
若 $0<x$, $y<\pi/2$，且 $\sin x=x\cos y$，则
A. $y<x/4$ B. $x/4<y<x/2$ C. $x/2<y<x$ A. $x<y$

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realnumber

2^#

发表于 2014-2-19 11:57 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2014-2-19 12:07 编辑

假设$y\ge x$,那么$\cos{y}\le \cos{x}$,
那么$\sin{x}=x\cos{y}\le x\cos{x}$,得到$\tan{x}\le x$矛盾.
因此$y<x$
假设$y\le \frac{x}{2}$,则$\cos{y}\ge \cos{\frac{x}{2}}$
那么$\sin{x}=x\cos{y}\ge x\cos{\frac{x}{2}}$,得到$\sin{\frac{x}{2}}\ge \frac{x}{2}$矛盾.
因此$y>\frac{x}{2}$
说明$\forall x\in [0,\frac{\pi}{2}),\tan{x}\ge x \ge \sin{x}$,可以用导数证明或画单位圆.

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其妙

3^#

发表于 2014-2-19 18:46 | 只看该作者

楼上的方法不错。
kuing居然这次不给过程了，

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其妙

4^#

发表于 2014-2-19 18:58 | 只看该作者

换一种格式书写：
因为$x\cos y=\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2<2\cdot\dfrac x2\cos\dfrac x2=x\cos\dfrac x2$，故$\cos y<\cos\dfrac x2$，即：$y>\dfrac x2$.

又 $\cos y=\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\tan x\cos x}{x}>\dfrac{ x\cos x}{x}=\cos x$，故$y<x$.

于是，$\dfrac x2<y<x$.

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kuing