[数论] $2^n+n=m!$

realnumber

解不定方程，$2^n+n=m!$,m,n为正整数.
容易得到一解n=2,m=3.不清楚其它解，试了m=1,2,4,5,6,7应该都没解

其妙

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$m=1,n=0$可以吧？

realnumber

回复 2# 其妙


    转发漏了字，"正"整数m,n

realnumber

证明：假设满足$m\ge11$的最小整数解为$(m_0,n_0)$，
记$t_0=$[$\frac{m_0}{2}$]+[$\frac{m_0}{2^2}$]+[$\frac{m_0}{2^3}$]+$\cdots $
则$2^{t_0}\mid m!,2^{t_0}\mid n,n\ge 2^{t_0},m!>2^{(2^{t_0})}$
设正整数k满足$2^{k+1}>m\ge 2^k,m\ge11,k\ge3$，即$2^{k+1}-1 \ge m$ .
则$2^{k+1}-1>t_0\ge 2^k-1$
$1+2\times 2+3\times4+\cdots+(k+1)\times 2^k=k\times2^{k+1}+1\ge log_2 (2^{(k+1)}!-1)\ge  log_2 (m!)\ge 2^{t_0}\ge 2^{(2^k-1)}$,
而此不等式$k\times2^{k+1}+1\ge 2^{(2^k-1)},k\ge3$矛盾.
k=3直接检验可得矛盾，$k\ge4$时,$2^k-1>2k+2，2^{k+1}>2k$
所以$k\times2^{k+1}+1\ge 2^{(2^k-1)}\ge 2^{k+1}\times 2^{k+1}>2k 2^{k+1}$,得$1>k2^{k+1}$矛盾.
如此我们可得原不定方程有唯一解.完.

后面不删了，是探索过程，特殊到一般，证明看不懂，可以先看这部分.
$2^n<2^n+n=m!<2^{n+1}$,容易得$n>m$.
直接检验m=1,2,4,5,6,7,8,9,10均无解，即$m\ge 11$,此时$2^8\mid m!$
得到$2^8\mid 2^n+n$,得到$2^8\mid n$,则$n\ge 2^8=256$
得$2^n+n=m!>2^{256}$,
又$log_2 (m!)=log_2 2+log_2 3+\cdots+log_2 m \le log_2 2+2\times log_2 4+4\times log_2 8+8\times log_2 16+\cdots=1+2\times2+4\times3+8\times4+\cdots$
$log_2 52!\le 1+2\times2+3\times4+4\times8+5\times16+6\times21=255\le 256$
$1+2+4+8+16+21=52$,所以$m!> 52!$
即$m\ge 53$
当$m\ge 53$时，考虑53!中2的次数，[$\frac{53}{2}$]+[$\frac{53}{2^2}$]+[$\frac{53}{2^3}$]+[$\frac{53}{2^4}$]+[$\frac{53}{2^5}$]=49
即$2^{49}\mid 53!$,即$2^{49}\mid m!$.同样得到$2^{49}\mid n$,则$n\ge 2^{49},m!>2^{(2^{49})}$.
(如此又可得m>某个更大的数，感觉可以写证明了.....还是没想好？
又$1+2\times2+3\times2^2+4\times2^3+\cdots+(k+1)2^k=k2^{k+1}+1$)
正整数k满足$2^{k+1}\ge m> 2^k$ .
$ 1+2\times2+3\times2^2+\cdots+(k+1)2^k=k2^{k+1}+1\ge log_2 ((2^{k+1})!)\ge log_2 (m!)\ge 2^{49}$,
得到符合不等式的最小的k=43，因此$m\ge 1+2+3+\cdots+43=946$,
[$\frac{946}{2}$]+[$\frac{946}{2^2}$]+[$\frac{946}{2^3}$]+$\cdots$+[$\frac{946}{2^9}$]=940,即$2^{940}\mid m!$,进而有$2^{940}\mid n$.