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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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guanmo1
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发表于 2014-2-18 15:51
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[函数]
最值
如图。
2014-2-18 15:50
____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
10. 若实数 $a, b, c, d$ 满足 $(b+a^2-3\ln a)^2+(c-d+2)^2=0$,则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为( )
(A) $\sqrt2$ (B) $2$ (C) $2\sqrt2$ (D) $8$
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kuing
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发表于 2014-2-18 16:52
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只看该作者
由条件得
\begin{align*}
(a-c)^2+(b-d)^2&=(a-c)^2+(3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& \geqslant \frac12(c-a+3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& =\frac12(a^2+a+2-3\ln a)^2,
\end{align*}
又
\[a^2+a+2-3\ln a\geqslant a^2+a+2-3(a-1)=(a-1)^2+4\geqslant 4,\]
故
\[(a-c)^2+(b-d)^2\geqslant 8,\]
当 $a=d=1$, $b=c=-1$ 时取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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其妙
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发表于 2014-2-18 18:59
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方法一kuing先生已经用了,
那么方法二只有数形结合了!
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踏歌而来
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发表于 2014-2-18 19:30
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lna≤a-1是通过导数证明的吗?
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其妙
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发表于 2014-2-18 19:44
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踏歌而来
嗯,熟知的不等式,
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isee
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发表于 2014-2-18 21:52
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3#
其妙
整来看看
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kuing
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发表于 2014-2-18 21:54
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6#
isee
两个函数之间的点距,其中一条是直线,所以求另一条的切线与其平行,……
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乌贼
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发表于 2014-2-18 23:06
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直接点到直线距离公式
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其妙
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发表于 2014-2-18 23:20
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上述方法都是数形结合的典范
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