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[函数] 最值

如图。
最值.jpg
2014-2-18 15:50



____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
10. 若实数 $a, b, c, d$ 满足 $(b+a^2-3\ln a)^2+(c-d+2)^2=0$,则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为( )
(A) $\sqrt2$    (B) $2$    (C) $2\sqrt2$    (D) $8$
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由条件得
\begin{align*}
(a-c)^2+(b-d)^2&=(a-c)^2+(3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& \geqslant \frac12(c-a+3\ln a-a^2-c-2)^2 \\
& =\frac12(a^2+a+2-3\ln a)^2,
\end{align*}

\[a^2+a+2-3\ln a\geqslant a^2+a+2-3(a-1)=(a-1)^2+4\geqslant 4,\]

\[(a-c)^2+(b-d)^2\geqslant 8,\]
当 $a=d=1$, $b=c=-1$ 时取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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方法一kuing先生已经用了,
那么方法二只有数形结合了!

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lna≤a-1是通过导数证明的吗?

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回复 4# 踏歌而来
嗯,熟知的不等式,

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回复 3# 其妙

整来看看

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回复 6# isee

两个函数之间的点距,其中一条是直线,所以求另一条的切线与其平行,……

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直接点到直线距离公式

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上述方法都是数形结合的典范

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