[数列] 数列不等式

guanmo1

如图

踏歌而来

建议放到kuing先生的“继续数列不等式水母”帖子中，集中在一起便于查找。

kuing

建议放到kuing先生的“继续数列不等式水母”帖子中，集中在一起便于查找。 ...
踏歌而来 发表于 2014-2-17 17:40

这题应该不是水母，不应放到那里。
我那贴收集的是看上去很复杂，其实水得很的数列不等式，故比喻为“水母”。

其妙

kuing先生，这是不是2005重庆的高考压轴题？

kuing

回复 4# 其妙

出处dang牛笔……

kuing

bao力点，加强点。

直接计算得 $a_5=3007/960$，当 $n\geqslant 5$ 时易证 $2^n>n^2+n$，故此
\[
a_{n+1}+1=\left( 1+\frac1{n^2+n} \right)a_n+\frac1{2^n}+1<\left( 1+\frac1{n^2+n} \right)(a_n+1),\]
即
\[
\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}<1+\frac1{n^2+n}=1+\frac1n-\frac1{n+1},
\]
故当 $n>5$ 时有
\begin{align*}
\frac{a_n+1}{a_5+1}&<\left( 1+\frac1{n-1}-\frac1n \right)\left( 1+\frac1{n-2}-\frac1{n-1} \right)\cdots \left( 1+\frac15-\frac16 \right) \\
& <\left( \frac{1+\frac1{n-1}-\frac1n+1+\frac1{n-2}-\frac1{n-1}+\cdots +1+\frac15-\frac16}{n-5} \right)^{n-5} \\
& =\left( \frac{n-5+\frac15-\frac1n}{n-5} \right)^{n-5} \\
& <\left( 1+\frac1{5(n-5)} \right)^{n-5},
\end{align*}
熟知最后一式关于 $n$ 递增，且易知其极限为 $\sqrt[5]e$，从而
\[\frac{a_n+1}{a_5+1}<\sqrt[5]e \riff a_n<(a_5+1)\sqrt[5]e-1=\left( \frac{3007}{960}+1 \right)\sqrt[5]e-1\approx 4.047.\]

kuing

回复 6# kuing

优化一下，不用均值和极限，改用 $\ln(x+1)<x$ 好些。
在得到当 $n\geqslant5$ 有
\[
\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}<1+\frac1{n^2+n}=1+\frac1n-\frac1{n+1}
\]
后，取对数得
\[\ln(a_{n+1}+1)-\ln(a_n+1)<\ln\left(1+\frac1n-\frac1{n+1}\right)<\frac1n-\frac1{n+1},\]
求和即得
\[\ln(a_n+1)-\ln(a_5+1)<\frac15-\frac1n<\frac15,\]
于是变形亦可得到
\[a_n<(a_5+1)\sqrt[5]e-1,\]
这样就更简单而且容易被接受。

另外，而由于原题的右边较大，所以如果仅是为了证明题目的话完全不必计算上式右边的值，甚至不用计算 $a_5$，用数归容易证明 $a_n\leqslant n$，所以 $a_n<6\sqrt[5]3-1$，又 $6\sqrt[5]3-1<7\iff\sqrt[5]3<4/3\iff3^6<4^5\iff729<1024$，所以 $e^2>2.7^2=7.29>7>a_n$。

realnumber

以下用数学归纳法证明$a_n\le 6-\frac{8}{n}，n\ge 3$
$a_3=\frac{31}{12}\le 6-\frac{8}{3}$
假设n=k($k\ge3$)，有$a_k\le 6-\frac{8}{k}$
那么只要证明$(1+\frac{1}{k^2+k})(6-\frac{8}{k})+\frac{1}{2^k}\le 6-\frac{8}{k+1}$
化简得$\frac{1}{2^k}\le \frac{2}{k^2+k}+\frac{8}{k^3+k^2}$
只需要证明$\frac{1}{2^k}\le \frac{2}{k^2+k}$，此式成立.
所以有n=k+1也成立，即$a_n\le 6-\frac{8}{n}\le e^2，n\ge 3$
又$a_2=2<e^2$

kuing

回复 8# realnumber

不错，简单

realnumber

回复 9# kuing