[几何] 双曲线切线方程如何进行变形？

踏歌而来

双曲线为x^2-y^2=1，如果双曲线上的某点坐标P为(x0,y0)，求过P点的切线方程。

因为高中不允许用求导来求切线方程，所以，我设这个切线的斜率为k，切线方程为 y-y0=k(x-x0),
由
y-y0=k(x-x0)
x^2-y^2=1
消去y得到 (1-k^2)x^2-2k(y0-kx0)x-(y0-kx0)^2-1=0
因为直线与双曲线相切，所以
△=4k^2(y0-kx0)^2+4(1-k^2)(y0-kx0)^2+4(1-k^2)=0
将x0^2-y0^2=1代入
化简时，我只能化到 (y0-kx0)^2+1-k^2=0  ①
对下我就再也求不出  k＝x0/y0。            ②

我将②代入①发现正确，但就是不能由①到②，真是见鬼！
没有见鬼的大师们，请帮我看看如何由①到②，谢谢！

kuing

\begin{gather*}
(y_0-kx_0)^2+1-k^2=0,\\
y_0^2+1-2kx_0y_0+(x_0^2-1)k^2=0,\\
x_0^2-2kx_0y_0+y_0^2k^2=0,\\
(x_0-ky_0)^2=0,\\
k=\frac{x_0}{y_0}.
\end{gather*}

kuing

回复 2# kuing

回完贴发现公式刚好是钻石型……

踏歌而来

大师，非常感谢您！

isee

写成分段函数  就可以求导了哇

踏歌而来

我没有在变形中达到目的，是因为我在想用什么东西替换掉“－2kx0y0”中的“x0y0”，没有想到kuing大师根本就不理会这个小组合。

其妙

回复 6# 踏歌而来
那就干脆来二元函数的微分嘛！
对双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$微分得，

$\dfrac{2xdx}{a^2}-\dfrac{2ydy}{b^2}=0$，故$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xb^2}{ya^2}$

$当a=b=1$时，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xb^2}{ya^2}=\dfrac xy$，

即$k=\dfrac{x_0}{y_0}$

爪机专用

回复 7# 其妙
这个。。。算了吧。。。

其妙

其妙

我没有在变形中达到目的，是因为我在想用什么东西替换掉“－2kx0y0”中的“x0y0”，没有想到kuing大师根本 ...
踏歌而来 发表于 2014-2-15 11:33

现在再仔细看了你一下你的意思，原来是运算问题。
那个式子关键是条件$x_0^2-y_0^2=1$怎么用的问题。
消元又不好消，kuing把该条件变形为$x_0^2=y_0^2+1$和$x_0^2-1=y_0^2$，这正好是两个完全平方，最后就便于配方。
事实上，对于消元问题，一种是比较大气一点的消元（像kuing的这种，能够把握到何时消元的火候），一种是最开始就消元（如果你不能把握消元的火候）。
比如，最开始设切点为（$\sec\alpha,\tan\alpha$）=$(x_0,y_0)$，
那么$ (y_0-kx_0)^2+1-k^2=0  ①$变为：$ (\tan\alpha-k\sec\alpha)^2+1-k^2=0$，然后三角运算即可。
当然需要三角运算的公式：$\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha$.
又比如，说抛物线上$y^2=2px$上的两点$A$，$B$，……，
如果你足够的大气和有把握，那么你设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，难点是$y_1^2=2px_1,y_2^2=2px_2$这两个条件如何用，如何把握时机消元？
如果你不够大气又没有把握，那么建议你设$A(\dfrac{y_1^2}{2p},y_1)$，$B(\dfrac{y_1^2}{2p},y_2)$，此法的缺点是看上去分母较多，优点是未知数少，只要初中的基本运算过关就行。

发现写了也白写。
另外也说明你的毅力不够：
将$ (y0-kx0)^2+1-k^2=0  ①$强行展开，按$k$整理（因为你要求$k$啊？），强行用求根公式（因为你都知道$k$的表达式是那么漂亮的结果！难道惊喜不会等着你？），你会发现这个关于$k$的方程的判别式居然为零！
那么，根据求根公式（过程略）可得，$k_1=k_2=\dfrac{x_0}{y_0}$。

删广告专用

回复 10# 其妙

后面这段本来我也想说，不过懒了。

____
kuing

踏歌而来

楼上说得对！如果用△就可以很容易得出答案了，谢谢您！

走走看看

回复 10# 其妙


    毅力不够，讲得好！

游客

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2017-9-28 08:13

因为圆锥曲线平行弦的中点是共线的，平移到极限位置就是相切。

其妙

回复 13# 走走看看
你。。。

zhcosin

如果已经见过结论，可以有如下的证明

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2017-9-30 11:51

对于椭圆与抛曲线，也是类似的，比如下面是椭圆的

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2017-9-30 11:51

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2017-9-30 11:51