 考察数列xn.rar (32.43 KB)
考察数列 $x_n=(1+\sqrt2+\sqrt3)^n$ ①，$x_n=q_n+r_n\sqrt2+s_n\sqrt3+t_n\sqrt6$ ②，$q_n$，$r_n$，$s_n$，$t_n\in\mbb Z$，求：$\lim_{n\to\infty}r_n/q_n$，$\lim_{n\to\infty}s_n/q_n$，$\lim_{n\to\infty}t_n/q_n$。
解法一（共轭配偶法）：
感谢何万程老师。
观察 $x_n$ 的①，不难发现几个共轭式：
\begin{align*}
(1+\sqrt2+\sqrt3)^n+(1-\sqrt2-\sqrt3)^n&=2(q_n+t_n\sqrt6),\\
(1+\sqrt2+\sqrt3)^n+(1-\sqrt2+\sqrt3)^n&=2(q_n+s_n\sqrt3),\\
(1+\sqrt2+\sqrt3)^n+(1+\sqrt2-\sqrt3)^n&=2(q_n+r_n\sqrt2),\\
(1-\sqrt2+\sqrt3)^n+(1+\sqrt2-\sqrt3)^n&=2(q_n-t_n\sqrt6),
\end{align*}
联立，解得 $q_n$，$r_n$，$s_n$，$t_n$ 表达式，从而解得三个极限，分别为 $1/\sqrt2$，$1/\sqrt3$，$1/\sqrt6$。
得来：利用二项式展开（每个式子后两项一组），再与 $(1+\sqrt2+\sqrt3)^n$ 对比（展开方法一样），我们看见，“需要的”被留下，“不需要的”被消去。
此方法极富技巧性。如果觉得这个方法过于“华丽”，请看解法二。
解法二（递推数列法）：
感谢徐剑涵同学，一位华东师范大学第二附属中学的校友。
观察 $x_n$，可得
\[x_{n+1}=x_n(1+\sqrt2+\sqrt3),\]
与 $x_{n+1}$ 的②对比，有
\begin{align*}
q_{n+1}&=q_n+2r_n+3s_n, ③\\
r_{n+1}&=r_n+q_n+3t_n, ④\\
s_{n+1}&=s_n+2t_n+q_n, ⑤\\
t_{n+1}&=t_n+s_n+r_n, ⑥
\end{align*}
用④⑤⑥分别与③做商，右边分数线上下同时除以 $q_n$，并设三个极限依次为$x$, $y$, $z$，（数列趋于极限时，$a_{n+1}=a_n$）不难得到：
\begin{align*}
x&=\frac{x+1+3z}{1+2x+3y},\\
y&=\frac{y+2z+1}{1+2x+3y},\\
z&=\frac{z+y+x}{1+2x+3y},
\end{align*}
联立，同样解得答案。
解方程方法：利用比的性质，右边分子分别减去 $x$, $y$, $z$，分母减1——因为左边 $x=x/1$，依次类推。再找出 $x$, $y$ 比值，消元解出 $x$, $y$, $z$。
此方法很质朴，唯一不足是运算量过大。
此题处于一学校的教材，同时在某网络杂志的大学数学竞赛栏目出现（解法一即受此刊启发）。故本题可供大学生、高中生有竞赛需求者参考。
最后除了上述提到的人，还要感谢很多的人，在此就不一一列举了。总之，大家都是我的老师！
此题较生僻，大家开开眼界。
感谢kuing大哥 何老师 野猪老师…… 如伙三天，帮我解了好几道生僻的题目（包括此题）。
最大的感觉不是题解出来了，而是给了我战胜难题的信心——无论我的能力高低。
借用《珍珠港》结尾的一句话——在此以前，我们国家处在失败的低迷中，而此战以后，国家充满的信心，最后打败的日本人的龌龊进攻。 |
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发表于 2014-2-9 22:43
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发表于 2014-2-10 01:08
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