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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 整系数三次方程的根的问题
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hongxian
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发表于 2013-9-16 10:29
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[函数]
整系数三次方程的根的问题
三次整系数多项式$f(x)=x^3+ax^2+bx-12$的图形与$x$轴交于相异两点$(m,0)$、$(n,0)$,其中$m$、$n$均为正有理数,求$a$的最大值。
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kuing
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发表于 2013-9-16 11:21
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首项系数为 $1$,故所有有理根都为整数根,依题意即 $m$, $n$ 都为正整数且 $mn^2=12$(或 $m^2n=12$ 不过没区别),下略。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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hongxian
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发表于 2013-9-16 11:27
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kuing
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$1+1+12=-a$或$2+2+3=-a$
所以$a=-13$或$a=-7$
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发表于 2013-9-16 22:26
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hongxian
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爪机专用
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发表于 2013-9-16 22:33
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其妙
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发表于 2013-9-16 22:39
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不妨设$f(x)=x^3+ax^2+bx-12=(x-m)^2(x-n)$,其实设$f(x)=x^3+ax^2+bx-12=(x-m)(x-n)^2$也可以,
由于$f(0)=-12$,故得到$m^2n=12$或者$mn^2=12$,我也来默契一下
当然,韦达定理也是可行的。
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