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[组合] 6个相同小球

河北唐山齐建民<maths352@qq.com> 12:37:31
6个相同小球放入编号为1,2,3,4的四个不同盒子,每个盒子所放球数不超过盒子编号,共有多少种放法?
推广下,希望是个好问题,
n个一样的球,放入m个编号的盒子,每个盒子所放球数不超过盒子编号
求放法数.
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本帖最后由 tommywong 于 2014-1-18 14:26 编辑

$E([1,2]_1+[1,3]_1+[1,4]_1+[1,5]_1=10)=C_9^3-C_7^3-C_6^3-C_5^3-C_4^3+C_4^3+C_3^3=20$

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如果都允许不放,即 $(1+x)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4)$ 展开式的 $x^6$ 的系数,展开知结果是 $20$。

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回复 2# tommywong
这是什么方法?

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$E(X=\sum_{i=1}^m [1,n_i]_1)=\sum_{r_i=0}^1 (-1)^{r_1+r_2+...+r_m} C_{X-1-n_1r_1-n_2r_2-...-n_mr_m}^{m-1}$

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回复 4# 其妙
我2,3楼都看不懂

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回复 5# tommywong

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回复 6# 乌贼


2楼那个不知道是什么,估计是楼主自己搞出来的一套符号,得等他自己回来给定义

k的做法很巧妙,因为实际上整个问题等价于$a+b+c+d=6, a\le 1, b\le 2, c\le 3, d\le 4$有多少组非负整数解
那么在考察他那个多项式的$x^6$系数时,$1+x$可以贡献0次或1次,$1+x+x^2$可以贡献0,1或2次,以此类推,最后得到的模型跟上面完全等价

其实不允许放空也行,把式子里面的1全去掉就行了

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如果改成:6个相同小球放入编号为1,2,3,4的四个不同盒子,每个盒子所放球数不少于该盒子编号,共有多少种放法?
这就是常规问题了。

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回复 9# 其妙


...........
你不觉得这是不可能的么.........
这种问题得分两类,n个球m个盒子,$n\le \frac{m(m+1)}{2}$是一种,反过来另一种

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回复 10# 战巡
,如果改成:16个相同小球放入编号为1,2,3,4的四个不同盒子,每个盒子所放球数不少于该盒子编号,共有多少种放法?

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回复 11# 其妙

方法还是一样的啊,多项式展开总可以

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回复 12# kuing
你的母函数方法吧,
除此外可以用隔板法或者用不定方程的结论

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回复 11# 其妙


$E([1,\infty]_1+[2,\infty]_1+[3,\infty]_1+[4,\infty]_1=16)=E([1,\infty]_1+[1,\infty]_1+[1,\infty]_1+[1,\infty]_1=10)=C_9^3$

$\frac{1}{(1-x)^4}=\sum_{p=0}^{\infty} C_{3+p}^3 x^p$中$x^6$的系数

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回复 14# tommywong
那不是和kk的母函数差不多哦

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本帖最后由 走走看看 于 2019-8-15 20:05 编辑

回复 2# tommywong


    配上4个球,使得每个盒子都不空,10个球分给4个盒子,是标准的隔板法。

    但是这种隔板法后,有不少盒子中所装的球的数目超过序号,需要排除的。

    可以把您的排除思路说一说吗?我看不懂。自己试着排除做不到,因为有太多的交叉。

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tommywong在2楼中的算法比较新奇。

Kuing在3楼的算法逻辑简单,但这么多项相乘,怎么能取出x的6次方不重不漏呢?觉得这个好像只有用软件才能算得准。

2楼是怎么思考的?3楼手工算怎么样才能不算错呢?

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