[函数] 相隔四分这一个周期 两垂直x轴线 截正弦类

isee

大家帮看看，怎么解释。脑子转不动了，谢了先。

红色的是所给的标准答案。

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2014-1-18 00:32

乌贼

分段函数表示，能解决吗……
这题怎么没人鸟，太容易了？

kuing

各种分类，可以将函数式求出来，当然就是分段函数了，玩下去肯定能解决，但是我就没这心思了……

乌贼

回复 3# kuing
鸟KK

isee

回复 2# 乌贼


    太麻烦了，主要是

其妙

回复 5# isee
（1）（2）是很容易排除的：
显然$f(x)=\sin\dfrac{\pi x}{2}$的周期为4，

当$t=\dfrac12$时，$x\in[\dfrac12,\dfrac32]$，根据其图像可得，$M(\dfrac12)=f(1)=1,m(\dfrac12)=f(\dfrac12)=f(\dfrac32)=\dfrac{\sqrt2}{2}$，

于是，$h(\dfrac12)=M(\dfrac12)-m(\dfrac12)=1-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

但是，当$t=-\dfrac12$时，$x\in[-\dfrac12,\dfrac12]$，根据其图像可得，$M(-\dfrac12)=f(\dfrac12)=\dfrac{\sqrt2}{2},m(-\dfrac12)=f(-\dfrac12)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$，

于是，$h(-\dfrac12)=M(-\dfrac12)-m(-\dfrac12)=\dfrac{\sqrt2}{2}-(-\dfrac{\sqrt2}{2})=\sqrt2$.

故$h(-\dfrac12)\ne h(\dfrac12)$，（1）错误；

（2）的$h(x)$值域里最大值为$1$，但是$h(-\dfrac12)=\sqrt2>1$，故（2） 错误。

很久没练习打公式了 ，还真累。

乌贼

回复 6# 其妙
由图像可直接排除，关键就是$3,4$

其妙

回复 7# 乌贼
你一眼就秒杀了！可我却写了这么多，

乌贼

回复 8# 其妙
我不懂代数推导

尔维特欧文

用特殊位置考虑 一个周期的分段函数

尔维特欧文

这个看看 用一个周期的分段函数表示出来 验证，3 4正确

其妙

下面证明函数$h(t)=M(t)-m(t)$是周期为2的函数。
首先注意到$f(x)=\sin\dfrac{\pi}{2}x$满足性质：$f(t+2)=-f(t)$，故$f(x)$在$x\in[t+2,t+3]$时的图像和$x\in[t,t+1]$时形状完全一样，且这两段图像成“相反状态”（只可意会不好言传）。

所以，当$x\in[t,t+1]$时，$f(t)\in[m(t),M(t)]$，

当$x\in[t+2,t+3]$时，$f(t)\in[m(t+2),M(t+2)]=[-M(t),-m(t)]$，

当$x\in[t,t+1]$时，$h(t)=M(t)-m(t)$，

当$x\in[t+2,t+3]$时，$h(t+2)=M(t+2)-m(t+2)=-m(t)-[-M(t)]=h(t)$，故函数$h(t)=M(t)-m(t)$是周期为2。

所以（3）正确。

isee

感谢楼上诸位指教！谢谢，辛苦了！