免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 这样找矛盾行吗?

本帖最后由 史嘉 于 2014-1-9 16:19 编辑

设实数a,b,c满足$a^2+b^2+c^2=1$,证明:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2

网络证法:
假设:|a-b|,|b-c|,|a-c|都大于√2/2
∴$(a-b)^2$>1/2...①
$(b-c)^2$>1/2.....②
$(a-c)^2$>1/2.....③
且$a^2+b^2+c^2=1$..④
化简①②③并相加,得ab+bc+ac<1/4....⑤
又∵ab≤($a^2+b^2$)/2,bc≤($a^2+c^2$)/2,ac≤($a^2+c^2$)/2
带入⑤得$a^2+b^2+c^2$<1/4
与已知矛盾.
∴:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

那显然错

TOP

TOP

由对称性不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$,若 $\abs{a-b}$, $\abs{b-c}$, $\abs{c-a}$ 都大于 $\sqrt2/2$,则 $a-b>\sqrt2/2$, $b-c>\sqrt2/2$,相加得 $a-c>\sqrt2$,则 $a^2+b^2+c^2\geqslant (a-c)^2/2>1$,矛盾。

TOP

本帖最后由 史嘉 于 2014-1-9 18:10 编辑

回复 4# kuing

倒数第二步?
麻烦老K再详点,在下愚钝的很呐

TOP

回复  kuing

倒数第二步?
麻烦老K再详点,在下愚钝的很呐
史嘉 发表于 2014-1-9 17:41

倒数第二步是指“相加得 $a-c>\sqrt2$”还是“$a^2+b^2+c^2\geqslant(a-c)^2/2$”?

TOP

本帖最后由 史嘉 于 2014-1-9 19:21 编辑

回复 6# kuing

后者,>=那步。
作差可证得,但怎么想到的呐?
非常感谢!

TOP

回复 7# 史嘉

不太记得了,大概到那里不知不觉就想到了。

TOP

回复 7# 史嘉
有时候是只可意会,不可言传!或者说,只可以意会,不好言传!
思想大致是去绝对值吧,去绝对值的方法有讨论、平方、排序(字母对称时可设序),等等。
将上述方法(不完全统计)逐一试探,如果运气好,那么一试就成功!(第一次一试就成功一般都是高手,他具有敏锐的洞察事物本质的能力,当然也有其他情况,例如运气)。
运气不好的话,试多次才成功,试多次才找到正确的解决问题的方法(这需要他具备不折不挠、顽强的非智力因素,因为失败是成功之母)。。。
一家之言

TOP

回复 9# 其妙

谢谢您元认知式的评论!
我这样找矛盾行不行:
∣a−b∣, ∣b−c∣, ∣c−a∣ 都大于 2√/2,
平方相加得ab+bc+ac<1/4,
由基本不等式知,ab+bc+ac<=1,仅当a=b=c时成立,
而此时1<1/4,矛盾。

TOP

回复 10# 史嘉
不行
I am majia of kuing

TOP

回复 11# 爪机专用

只要否定了不就可以了吗?

TOP

我这样找矛盾行不行:
∣a−b∣, ∣b−c∣, ∣c−a∣ 都大于 2√/2,
平方相加得ab+bc+ac<1/4,
由基本不等式知,ab+bc+ac<=1,仅当a=b=c时成立,
而此时1<1/4,矛盾。
史嘉 发表于 2014-1-10 12:47

你要搞清楚一下逻辑。

题目要证明的是:对满足 a^2+b^2+c^2=1 的任意 a,b,c 都有 |a-b|, |b-c|, |c-a| 中至少有一个不大于 √2/2。
于是你的要用反证法,就是假设:存在满足 a^2+b^2+c^2=1 的 a,b,c 使得使 |a-b|, |b-c|, |c-a| 都大于 √2/2,然后去推矛盾。
注意你假设的是“存在”,于是你平方相加得到的 ab+bc+ac<1/4 的意思也是存在。
而你后面得到的是当 a=b=c 时 ab+bc+ac=1。
“存在满足 a^2+b^2+c^2=1 的 a,b,c 使得 ab+bc+ac<1/4”与“当 a=b=c 时 ab+bc+ac=1”,你觉得矛盾吗?
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP


谢谢诸位的指教,我觉得可以结束了。

TOP

回复 14# 史嘉
可不可以不用反证法,即从正面证明?

TOP

本帖最后由 史嘉 于 2014-1-11 13:32 编辑

回复 15# 其妙

    这个如何?百度的。
不妨设a>=b>=c。令m=a-b,n=b-c。
则a=c+m+n,b=c+n。
代入原方程,有$(c+m+n)^2+(c+n)^2+c^2=1$。
$3c^2+2(m+2n)c+(m^2+2mn+2n^2)$=
$1(c+(m+2n)/3)^2+(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9=1/3$
所以必有$(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9<=1/3$
两边同时乘以9,展开:
$3m^2+6mn+6n^2-m^2-4mn-4n^2<=3m^2+mn+n^2<=3/2$
由此可见m,n不可能同时大于2分之根号2.
也就是说m,n中必有一个<=2分之根号2
命题得证

TOP

回复  史嘉
可不可以不用反证法,即从正面证明?
其妙 发表于 2014-1-11 12:24

那就将反证法改写之……

由对称性不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$,由 $1=a^2+b^2+c^2\geqslant (a-c)^2/2$ 得 $a-c\leqslant\sqrt2$,则
\[2\min\{\abs{a-b},\abs{b-c}\}\leqslant\abs{a-b}+\abs{b-c}=a-c\leqslant\sqrt2\riff \min\{\abs{a-b},\abs{b-c}\}\leqslant\frac{\sqrt2}2,\]
即 $\abs{a-b}$, $\abs{b-c}$ 中的较小者必定不大于 $\sqrt2/2$。

TOP

回复 17# kuing

好方法!

TOP

回复 18# 史嘉

其实没什么实质性区别,只是写起来不一样,再加上我后来用 min 的表达技巧使得好像比较有型。

TOP

回复 19# kuing

顺便得到了$\max\{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}=\sqrt2$,
还有其他方法,只不过以kk的为最简洁而已。

TOP

返回列表 回复 发帖