[几何] 来自人教群的三角形外心向量系数和最大值

kuing

学生-幻幻(6024*****)  14:27:51
已知O是△ABC的外心，cosA=1/15,若向量AO=α向量AB+β向量AC,则α+β的最大值是___

由已知结论 $\sin 2A\vv{OA}+\sin 2B\vv{OB}+\sin 2C\vv{OC}=\vv0$ 得
\[\sin 2A\vv{OA}+\sin 2B \bigl(\vv{OA}+\vv{AB}\bigr)+\sin 2C \bigl(\vv{OA}+\vv{AC}\bigr)=\vv0,\]
解得
\[\vv{AO}=\frac{\sin 2B\vv{AB}+\sin 2C\vv{AC}}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C},\]
于是
\begin{align*}
\alpha +\beta &=\frac{\sin 2B+\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C} \\
& =1-\frac{\sin 2A}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C} \\
& =1-\frac{\sin 2A}{\sin 2A+2\sin A\cos (B-C)} \\
& \leqslant 1-\frac{\sin 2A}{\sin 2A+2\sin A} \\
& =1-\frac{\cos A}{\cos A+1} \\
& =\frac1{\cos A+1}.
\end{align*}

其妙

http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101g8z1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101g92g.html

isee

坐标解析法    此题亦是典范！正如主楼一般平等对侍三顶点    手机打字不方便……

其妙

关于三角形四心（或五心）的向量结论！

isee

题目：已知$O$是$\triangle ABC$的外心，$\cos A =\frac 1{15}$，若 $\vv {AO}=m\vv {AB}+n \vv {AC}$, 则$m+n$的最大值是多少？

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2014-1-11 23:42

解：以外心$O$为坐标原点，建立直角坐标系$xOy$。不防将$A,B,C$按逆时针排列。by iC @ 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

可设圆$O$的方程为$x^2+y^2=1$，则$A(\cos \alpha,\sin \alpha),B(\cos \beta,\sin \beta),C(\cos \gamma,\sin \gamma),\gamma-\beta =2A$。
\begin{align*}
  \vv {AO}&=(-\cos \alpha,-\sin \alpha)\\
  \vv {AB}&=(\cos \beta-\cos \alpha,\sin \beta-\sin \alpha)\\
  \vv {AC}&=(\cos \gamma-\cos \alpha,\sin \gamma-\sin \alpha)\\[2em]
  \vv {AO}&=m\vv {AB}+n \vv {AC}\\
%(-\cos \alpha,-\sin \alpha)&=(m\cos \beta-m\cos \alpha+n\cos \gamma-n\cos \alpha,m\sin \beta-m\sin \alpha+n\sin \gamma-n\sin \alpha)\\
&\left\{\begin{aligned}
  m\cos \beta-m\cos \alpha+n\cos \gamma-n\cos \alpha&=-\cos \alpha\\
  m\sin \beta-m\sin \alpha+n\sin \gamma-n\sin \alpha&=-\sin \alpha
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
  m\cos \beta+n\cos \gamma&=(m+n-1)\cos \alpha\\
  m\sin \beta+n\sin \gamma&=(m+n-1)\sin \alpha
\end{aligned}\right.\\
\end{align*}

两平方相加
\begin{align*}
(m+n-1)^2&=m^2+n^2+2mn\cos( \beta - \gamma)\\
1-2m-2n&=2mn(1-\cos 2A)\\
&=2mn\sin^2 A\\
&\leqslant \frac {(m+n)^2}2\sin^2 A
\end{align*}

即\[2-4(m+n)\leqslant (m+n)^2\sin^2 A,m=n \text{时，取}"=" \]

将$\cos A=\frac 1{15} $代入解得\[m+n\leqslant \frac {15}{16},m+n\geqslant \frac {15}{14}\]

取“=”时，$m=n\Rightarrow \vv {AO}=m(\vv {AB}+\vv {AC})$，就是说直线$AO$过$BC$的中点，又$O$为外心，故此时$\triangle ABC$为等腰三角形，角$A$ 为顶角，进一步，可以得到锐角$\triangle ABC$(外心$O$在三角形$ABC$内)。

于是$m+n<1，m+n\geqslant \frac {15}{14}>1$，舍。by iC @ 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

所以，$(m+n)_{\max}=\frac {15}{16}$。

by iC @ 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

isee

在实践中，个人是喜欢链接的方法1，共线来解；其次kuing直接转化为三角，也独到。

不过，实际效果是，大多数学生更能接受的是坐标法，
而此楼题目，包括此类，最不愿意被讨论的就是坐标法，

算嘛，不过算要肯定，算也不能一味的蛮算，

以O为坐标点，做一个相似变换，将外接圆的半径转化为1，
结合下圆的参数方程，简化运算……

代价是三角，还好，此题里，三角计算比较“顺利”

走走看看

如果是钝角三角形，不知是否依然适用？

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2017-10-28 17:42

其妙

再发一链接：
http://mp.weixin.qq.com/s?__biz= ... f07c5b50afb4f183#rd

敬畏数学

设BC=a，借用5#的漂亮图，若直线AO与直线BC平行，则m+n=0，若直线AO与直线BC相交于D，则m+n=|AO|/|AD|=|AO|/(|AO|+|OD|)=1/(1+|OD|/|OA|),只要|OD|最小m+n最大，显然AD⊥BC，此时|OD|/|OA|=COS∠BOD=COS∠A=1/15.m+n的最大值为15/16（AO与BC垂直，与BC长度无关）。

游客

图画完，三点共线结论一用，答案就有了，钝角就求最小值。好象这个论坛另外有个这样的题，我印象中觉得回过。

走走看看

下面给出m+n（或α+β）的几何意义。

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2022-3-10 11:49

当AO不平行BC时，即非钝角三角形时，设直线AO与BC交于D。

由题设知AO=mAB+nAC，

由B、D、C共线得AD=kAB+（1-k）AC，

由A、O、D共线得$\frac{AO}{AD}=\frac{m}{k}=\frac{n}{1-k}=\frac{m+n}{k+1-k}=m+n 。$