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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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发表于 2014-1-7 11:07
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[几何]
转人教论坛之偶拉线
本帖最后由 乌贼 于 2014-1-7 11:09 编辑
在锐角$\triangle ABC$中,$AD$为$BC$边上的中线,$O$为三角形的外心,$H$为三角形的垂心,且$OH\perp AD$,令$\triangle HAB,\triangle HBC,\triangle HAC$的面积的倒数分别为$a,b,c$。试确定$a,b,c$三者之间的关系,并证明之。
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1
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发表于 2014-1-7 16:23
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发表于 2014-1-7 16:30
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我用比较繁琐的方法得到了极其简单的结果……一定兜了大弯……就先不粘上来了,晚点再想想,看一会片先。
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发表于 2014-1-7 19:24
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用向量变得简单了些,后面的计算也比刚才的好。
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2014-1-7 19:24
易证 $AH=2OD=2R\cos A$(不必涉及欧拉线),即得 $\vv{AH}=2\vv{OD}=\vv{OB}+\vv{OC}$,因此有
\begin{align*}
\vv{OH}&=\vv{OA}+\vv{AH}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}, \\
\vv{AD}&=\vv{OD}-\vv{OA}=-\vv{OA}+\frac{\vv{OB}+\vv{OC}}2,
\end{align*}
于是
\begin{align*}
OH\perp AD&\iff \vv{OH}\cdot2\vv{AD}=0 \\
& \iff \bigl(\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}\bigr)\cdot\bigl(-2\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}\bigr)=0 \\
& \iff -2OA^2+OB^2+OC^2-\vv{OA}\cdot\vv{OB}-\vv{OA}\cdot\vv{OC}+2\vv{OB}\cdot\vv{OC}=0 \\
& \iff 2\cos 2A=\cos 2B+\cos 2C.
\end{align*}
为了避免字母意义的混淆,这里就不用题目中的 $a$, $b$, $c$ 了,下面记 $ x=1/S_{\triangle HBC}$, $y=1/S_{\triangle HCA}$, $z=1/S_{\triangle HAB}$,设 $BC$ 边上的高为 $AE$,则
\[\frac yz=\frac{S_{\triangle HAB}}{S_{\triangle HCA}}=\frac{\frac12AH\cdot BE}{\frac12AH\cdot CE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AE\cot B}{AE\cot C}=\frac{\tan C}{\tan B},\]
即
\[y\tan B=z\tan C,\]
同理有 $x\tan A=y\tan B$,于是可设
\[x\tan A=y\tan B=z\tan C=m,\]
由三角恒等式有
\begin{align*}
\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C &\iff\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac{m^2}{xyz} \\
&\iff m^2=xy+yz+zx,
\end{align*}
因此
\[\cos2A+1=\frac{1-\tan^2A}{1+\tan^2A}+1=\frac2{1+\tan^2A} =\frac2{1+\frac{m^2}{x^2}}=\frac2{1+\frac{xy+yz+zx}{x^2}} =\frac{2x^2}{(x+y)(x+z)},\]
同理对 $B$, $C$ 有类似的式子,代入上面得到的结论中有
\begin{align*}
2\cos 2A=\cos 2B+\cos 2C&\iff2(\cos 2A+1)=\cos 2B+1+\cos 2C+1 \\
&\iff \frac{4x^2}{(x+y)(x+z)}=\frac{2y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{2z^2}{(z+x)(z+y)} \\
&\iff 2x^2(y+z)=y^2(z+x)+z^2(x+y) \\
&\iff 2x(xy+zx+yz)=y(yz+xy+zx)+z(zx+yz+xy) \\
&\iff 2x=y+z.
\end{align*}
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发表于 2014-1-7 20:34
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$AH=2OD=2R\cos A$ 的图证:
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2014-1-7 20:33
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2014-1-7 20:49
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这还简单
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发表于 2014-1-7 21:11
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本帖最后由 isee 于 2014-1-7 21:14 编辑
涉及Euler线了,竞赛类的,不会有特别简单的。
当然,对竞赛极熟悉的人,在竞赛范围内 也许 是基础题。
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乌贼
我没说这道题简单,我是说我用向量之后比我下午想的证法简单了一些,但是感觉应该还有更简单的解法的,靠你们了。
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发表于 2014-1-7 22:58
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解法一:坐标法
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2014-1-7 22:58
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
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kuing
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发表于 2014-1-8 00:55
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出处党来鸟
法二哩?
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发表于 2014-1-8 13:47
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出处党来鸟法二哩?
kuing 发表于 2014-1-8 00:55
这次没给出处,
没得法二了,如果有,也只是我给的那道题的第(1)问的法二法三
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luren8asdf
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发表于 2014-1-9 16:44
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谢谢各位了 这个题目是我在人教论坛问的
以后有问题就来这里向各位请教了
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其妙
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发表于 2014-1-9 23:13
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luren8asdf
那你就来对了,有老K在,什么问题都没有了!
(借用35的称呼)
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kuing
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发表于 2014-1-9 23:27
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其妙
35好像没叫我老K吧……
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发表于 2014-1-9 23:42
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kuing
我错了,原来是老史说的!
其实是一副牌里的K吧!
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