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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 椭圆焦点渐近线垂直求最大值,据说是刚考完的什么调研题
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kuing
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发表于 2014-1-6 20:15
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只看该作者
[几何]
椭圆焦点渐近线垂直求最大值,据说是刚考完的什么调研题
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(21.99 KB)
2014-1-6 20:14
第一问略,只玩第二问。
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(7.86 KB)
2014-1-6 20:14
作 $PQ\perp x$ 轴于 $Q$,作 $AM\perp PQ$ 于 $M$。
由条件易知 $\angle FPQ=\angle POQ$,于是 $\triangle FPQ\sim\triangle POQ$,因此有
\[OQ\cdot FQ=PQ^2,\]
即
\[OQ\cdot (OQ-c)=\left( \frac ba\cdot OQ \right)^2,\]
解得
\[OQ=\frac c{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{a^2}c,\]
可见直线 $PQ$ 就是椭圆的右准线,于是由第二定义及均值得
\begin{align*}
\frac{FA}{AP}&=\frac{e\cdot AM}{AP} \\
& =\frac{e\cdot PQ}{OP} \\
& =\frac{eb}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
& =\frac{e\sqrt{a^2-c^2}}{\sqrt{2a^2-c^2}} \\
& =\sqrt{\frac{e^2(1-e^2)}{2-e^2}} \\
& =\sqrt{3-\left( 2-e^2+\frac2{2-e^2} \right)} \\
& \leqslant \sqrt{3-2\sqrt2} \\
& =\sqrt2-1,
\end{align*}
等号成立当且仅当 $(2-e^2)^2=2$,即 $e=\sqrt{2-\sqrt2}$。
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发表于 2014-1-6 20:21
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只看该作者
这题还是蛮不错的,椭圆里玩几何,然后有均值,最后还带一个双重根号的化简,真有意思,编题的不容易呢,所以值得发贴玩一下。
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isee
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发表于 2014-1-6 21:23
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只看该作者
很巧,前几天碰到一个类似的过焦点的
比值题
,用第二定义的确很方便(至少,相对于用韦达定理,硬求弦长,简得不止一点点),可惜的是,现在木这些了,高考范围内。
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kuing
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发表于 2014-1-6 22:54
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只看该作者
广州市2014届高三年级调研测试 数 学(理 科)
标答用解析法……
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其妙
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发表于 2014-1-7 23:18
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只看该作者
给个标答链接做参考:
http://wenku.baidu.com/view/1dda0c5acaaedd3383c4d390.html
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