[几何] 椭圆焦点渐近线垂直求最大值，据说是刚考完的什么调研题

kuing

2014-1-6 20:14

第一问略，只玩第二问。

2014-1-6 20:14

作 $PQ\perp x$ 轴于 $Q$，作 $AM\perp PQ$ 于 $M$。

由条件易知 $\angle FPQ=\angle POQ$，于是 $\triangle FPQ\sim\triangle POQ$，因此有
\[OQ\cdot FQ=PQ^2,\]
即
\[OQ\cdot (OQ-c)=\left( \frac ba\cdot OQ \right)^2,\]
解得
\[OQ=\frac c{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{a^2}c,\]
可见直线 $PQ$ 就是椭圆的右准线，于是由第二定义及均值得
\begin{align*}
\frac{FA}{AP}&=\frac{e\cdot AM}{AP} \\
& =\frac{e\cdot PQ}{OP} \\
& =\frac{eb}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
& =\frac{e\sqrt{a^2-c^2}}{\sqrt{2a^2-c^2}} \\
& =\sqrt{\frac{e^2(1-e^2)}{2-e^2}} \\
& =\sqrt{3-\left( 2-e^2+\frac2{2-e^2} \right)} \\
& \leqslant \sqrt{3-2\sqrt2} \\
& =\sqrt2-1,
\end{align*}
等号成立当且仅当 $(2-e^2)^2=2$，即 $e=\sqrt{2-\sqrt2}$。

kuing

这题还是蛮不错的，椭圆里玩几何，然后有均值，最后还带一个双重根号的化简，真有意思，编题的不容易呢，所以值得发贴玩一下。

isee

很巧，前几天碰到一个类似的过焦点的比值题，用第二定义的确很方便（至少，相对于用韦达定理，硬求弦长，简得不止一点点），可惜的是，现在木这些了，高考范围内。

kuing

广州市2014届高三年级调研测试  数 学（理 科）
标答用解析法……

其妙

给个标答链接做参考:http://wenku.baidu.com/view/1dda0c5acaaedd3383c4d390.html