[数列] 求教是否存在正整数的无穷数列问题

踏歌而来

（1）是否存在正整数的无穷数列 $\{a_n\}$，使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$。
（2）是否存在正无理数的无穷数列 $\{a_n\}$，使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$。

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/e107decb-acbe-4e9e-a770-86745adf371a?a=1

由于格式问题，我看不懂论证过程。

另外，我想知道，这个题目 是否 是 高考内容？还是 奥赛内容？

请大师们 赐教！

kuing

抱歉，由于最近广告多，所以新用户发贴容易进入审核，昨天我没怎么注意审核栏，以致于今天才通过。
另外，根据你所提供的网站链接里的题目内容，我将你复制过来的题目重新输入了一下公式，以便观看。
PS、你自己也可以编辑贴子看看我所输入的公式代码。

kuing

话说，我没有你贴那个网址的帐号，看不到解答，还是自己研究一下先。

先否定第一个，将条件变形为
\[\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\leqslant \frac12\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n},\]
故
\[\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\leqslant \frac1{2^n}\cdot \frac{a_2}{a_1},\]
因此
\[a_{n+2}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}\cdots \frac{a_2}{a_1}\cdot a_1\leqslant \frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}a_1,\]
下面考虑右边的极限，由
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}&=\exp \lim_{n\to\infty}\ln \left( \frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1} \right) \\
& =\exp \lim_{n\to\infty}\left( -\frac{n(n+1)}2\ln 2+(n+1)\ln \frac{a_2}{a_1} \right),
\end{align*}
（注：$\exp x$ 表示 $e^x$）因为 $\ln2>0$，所以里面的式子是关于 $n$ 的开口向下的二次函数，故此必有
\[\lim_{n\to\infty}\left( -\frac{n(n+1)}2\ln 2+(n+1)\ln \frac{a_2}{a_1} \right)=-\infty,\]
从而无论 $a_1$, $a_2$ 取何值，都有
\[\lim_{n\to\infty}\frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}a_1=0,\]
所以
\[\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=0,\]
与正整数数列矛盾。

kuing

根据上面的过程，第二个就很容易构造出来了，比如令 $a_1=\pi$, $a_2=e$，然后令
\[a_{n+2}=\frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}a_1,\]
也就是
\[a_n=\frac\pi{2^{(n-2)(n-1)/2}}\left( \frac e\pi \right)^{n-1},\]
即可验证其满足要求。

踏歌而来

小兵给大王拜年来了，祝大王身体健康、万事如意！

谢谢数学大王的解答！
另外，我从那里得到的答案看不懂，后来把它考到了WORD，然后慢慢地拼凑了出来，现把它张贴出来。
我不明白图片中的倒数第四行中人为设定的依据是什么。
请大王继续指教！

我的图片不能上传，不知道为什么。

kuing

回复 5# 踏歌而来
图片发不上可能是格式、大小或者网络问题。
你将图或word发到我邮箱 249533164@qq.com 吧，我帮你贴。

kuing

邮件已收到，这个图片是吗：

下载 (10.99 KB)

2014-2-5 22:23

（这图很小，格式也没问题，按道理普通用户都可以传上来的，看来是你的网络或者操作问题）

kuing

这个证法的想法和我的其实差不多，都是证明后面的数会小于1从而推出矛盾，只不过我用的是极限，而他是用一个具体的与 a2 相关的项。
你不懂的地方是指 “ 设 $a_2^2\in[2^k,2^{k+1})$ ” 这里吗？这是因为当 k 取遍 N 时区间 $[2^k,2^{k+1})$ 取遍 $[1,+\infty)$，所以总能找到一个 $k\in\mbb N$ 使 $a_2^2\in[2^k,2^{k+1})$

kuing

另外，可以换个称呼不？“大王”……有点……

踏歌而来

回复 8# kuing

大师，谢谢您！
我不懂的是设$a2^2$∈[$2^ k $,$2^{k+1} $)的前提下，取N=k+3，N就不能取其它的值吗？比如N=k或者N=k+1或者N=k+2.甚至N=k+6呢？

爪机专用

回复 10# 踏歌而来
你可以试一下啊，看看取不同的值会有什么不同，感受一下。

踏歌而来

回楼上，如果N=k或者N=k+1或者N=k+2，则结论不能成立。

踏歌而来

现在发现把 图片中的第三行内容去掉就可以了。
这样就必须是N=k+3，否则并不一定满足N>=3。