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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个立体几何最值题
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joatbmon
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发表于 2013-9-13 15:02
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只看该作者
[几何]
一个立体几何最值题
在平行四边形$ABCD$中,$BC=2AB=2,\angle B=60^{\circ},$点$E$是线段$AD$上任一点(不包含点$D$),沿直线$CE$将$\triangle CDE$翻折成$\triangle CD'E$,使$D'$在平面$ABCE$上的射影$F$落在直线$CE$上,则$AD'$的最小值是
怎么做快?
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发表于 2013-9-13 15:07
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只看该作者
我的做法:以C为原点,CD为x轴,CA为y轴建系,设直线CE:y=kx,过AD作垂线,垂足M,N,$AD'^2=AM^2+DN^2+MN^2=4-\frac{2\sqrt{3}k}{1+k^2}\geq4-\sqrt{3}$,但是我觉得计算稍多,而且跟立体几何没啥关系了,请问大家别的做法
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kuing
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发表于 2013-9-13 15:53
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只看该作者
\(\require{cancel}\)
2013-9-13 15:52
过 $F$ 作直线 $BC$ 的垂线,垂足为 $G$,作 $\triangle CDF$ 的外接圆 $H$,则
\[\xcancel{AD'^2=BF^2+FD^2=BF^2-FC^2+CD^2=BG^2-GC^2+CD^2,}\gets 这里搞错了,修正的在8楼\]
$\xcancel{故显然当 FG 与 \odot H 相切时 AD' 取最小值,下略。}$
注:即使 $F$ 或 $G$ 在平行四边形外,以上等式仍然成立。
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发表于 2013-9-13 16:06
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本帖最后由 joatbmon 于 2013-9-13 16:21 编辑
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kuing
多谢,这个好。
有个疑问,$AD'^2=BF^2+FD^2$为什么?
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kuing
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发表于 2013-9-13 16:12
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joatbmon
但是目测了一下后面得出的最小值应该是 2 ……跟你的不同
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发表于 2013-9-13 16:22
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本帖最后由 joatbmon 于 2013-9-13 16:25 编辑
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5#
kuing
原题给的参考答案是我那个,是选择题。上半年某高三模拟卷里的。
$AD'^2=AF^2+FD^2$,$AF$跟$BF$应该不等吧
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kuing
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发表于 2013-9-13 16:27
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噢,原来是我看错了,汗,我计算了 BD'
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发表于 2013-9-13 16:34
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只看该作者
方法还是那样,改一下就行了。
2013-9-13 16:34
连结 $AC$,作 $FG\perp AC$ 于 $G$,作 $\triangle CDF$ 的外接圆 $H$,则
\[AD'^2=AF^2+FD^2=AF^2-FC^2+CD^2=AG^2-GC^2+CD^2,\]
故显然当 $FG$ 与 $\odot H$ 相切时 $AD'$ 取最小值,下略。
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发表于 2013-9-13 16:43
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这样就和答案一样了
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平面几何强大
joatbmon 发表于 2013-9-13 17:08
不止平面几何强大,还有立体几何也强大
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发表于 2013-9-14 13:14
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其妙
立几我弱。。。定理都没知道几个。。。
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发表于 2013-9-14 22:34
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爪机专用
知道的反而做不起,不知道的反而能把定理发现并推出
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