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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 请教:四面角四角相等
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数学小黄
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发表于 2013-9-13 09:28
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只看该作者
[几何]
请教:四面角四角相等
题目
2013-9-13 09:27
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joatbmon
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发表于 2013-9-13 12:10
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只看该作者
可以看到,所求两个角$\angle APC=\angle BPD$
这显然与AP,BP,CP,DP的长度无关,那么都取1,就是一个正四棱锥,$\cos\angle APC=1-4(\cos\theta-1)^2$
好奇怪,我哪里理解错了?
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kuing
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发表于 2013-9-13 13:23
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2#
joatbmon
显然可以不相等,想想菱形……
To 楼主:下次发贴时可以选择主题分类(见
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=170
),标题也可以打详细一些。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2013-9-13 14:29
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作公共平分线,再作一与此线垂直的平面,如图。
2013-9-13 14:29
记 $\angle APO=\alpha$, $\angle BPO=\beta$,则由三余弦定理得
\[\cos\theta=\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl( \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr),\]
即
\[\cos\frac{\angle APC+\angle BPD}2=2\cos\theta-\cos(\alpha-\beta),\]
显然 $\abs{\alpha-\beta}\in[0,\theta]$,故
\[\cos\frac{\angle APC+\angle BPD}2\in[2\cos\theta-1,\cos\theta],\]
即
\[\angle APC+\angle BPD\in[2\theta,2\arccos(2\cos\theta-1)].\]
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发表于 2013-9-14 11:09
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kuing
管理员厉害!!!
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