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2013广东预赛第8题(应该不是水题)

QQ图片20130912001552.jpg
2013-9-12 00:18
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发一下标准答案,以引发讨论.
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本帖最后由 joatbmon 于 2013-9-12 10:37 编辑

令,$x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a},\frac{r}{2}\leq x^2+y^2-x-y-xy+1,$考查二元函数$f(x,y)= x^2+y^2-x-y-xy+1$易知当$x=y=1$时取到最小值$0$,但不符合约束条件$x^2\geq4y$,由于$f(x,y)$是连续的,所以它的最小值必在边界上取到,也就是说此时$x^2=4y$,代入得$8r\leq x^4-4x^3+12x^2-16x+16=[(x-1)^2+3]^2$,故此$x=1,y=\frac{1}{4},r_{max}=\frac{9}{8}$

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回复 2# 转化与化归


    嗯,看过参考答案,发这题想知道能不能不用根来做,直接根据三个系数来解决????

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回复 3# joatbmon


    厉害!!!!!!!!!!!!!!

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令,$x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a},\frac{r}{2}\leq x^2+y^2-x-y-xy+1,$考查二元函数$f(x,y)= x^2+y^2-x-y- ...
joatbmon 发表于 2013-9-12 10:14

由于$f(x,y) $是连续的,所以它的最小值必在边界上取到,也就是说此时$x^2=4y
$
(1)万一最小值不在边界呢?
(2)万一边界得到的是最大值呢?
(1)(2)的反例就不想构造了

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本帖最后由 joatbmon 于 2013-9-12 13:35 编辑

这个函数的解析式下可以,只不过我说不清楚理由,只有感觉,没有严格证明。从应试角度讲,不在边界取到,题目给这个边界干嘛呢
擦,码字白码了。
二元连续函数,在整个xoy平面上存在一阶二阶偏导数,最值在边界,极值点(驻点)处取到,显然x,y趋向无穷时,f(x ,y)趋向正无穷,而唯一的驻点(1,1)不在范围内,那么最小值就在边界上取到。不行么?

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回复 7# joatbmon
加了这几条理由,还算成立,

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好吧,我也来试试:
标答是用韦达定理,借助于两根来完成的,能否不借助两根呢?
由均值不等式可得,$\dfrac3{80}a^2+\dfrac35c^2\geqslant\dfrac3{10}|ac|\geqslant\dfrac3{10}ac$,以及$\dfrac58b^2+\dfrac25(a+c)^2\geqslant |b(a+c)|\geqslant b(a+c)$,

且方程有两实根得到$\dfrac38b^2\geqslant\dfrac38\cdot4ac=\dfrac32ac$,

以上三式相加得:$(\dfrac3{80}+\dfrac25)a^2+\dfrac58b^2+c^2+\dfrac45ac\geqslant\dfrac3{10}ac+ab+bc$,

即:$\dfrac7{16}a^2+\dfrac58b^2+c^2\geqslant ac+ab+bc$,

故$a^2+b^2+c^2-(ac+ab+bc)\geqslant \dfrac9{16}a^2$,即:$\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2}\geqslant \dfrac9{16}$

于是,$\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2}=\dfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a^2}\geqslant \dfrac98$,

故$r_\max=\dfrac98$,取等号略。

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本帖最后由 realnumber 于 2013-9-13 08:23 编辑

回复 3# joatbmon

$x^2\ge 4y$,可以用$x^2-t=4y,t\ge0$替换,然后先消去y,固定x,看作t的2次函数,对对称轴位置分类讨论...,接下来就是x的4次函数(3楼),.....---修改了下

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回复 10# realnumber

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回复 11# 其妙


   我算错了~~~

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