[不等式] 2013广东预赛最后一题

昨晚在人教论坛看到了“2013年全国高中数学联赛广东预赛.doc”，大概看了下，也就最后一题有点难度。

11、已知 $m < n$（$m$, $n \in \mbb N^+$），两个有限正整数集合 $A$, $B$ 满足：$\abs A= \abs B = n$, $\abs{ A \cap B } = m$（这里用 $\abs X$ 表示集合 $X$ 的元素个数）。平面向量集 $\bigl\{\vv{u_k},k \in A \cup
B\bigr\}$ 满足
\[\left|\sum_{i \in A}\vv{u_i}\right| = \left|\sum_{j \in B}\vv{u_j}\right| = 1.\]
证明：
\[\sum_{k\in A \cup B}\bigl| \vv{u_k}\bigr|^2 \geqslant \frac2{m + n}.\]

细想一下其实也不是很难，只是题目表达得有点吓人，代数化后就不难想了。

记 $U=A \cup B$，由于 $\abs A= \abs B = n$, $\abs{ A \cap B } = m$，故 $\abs{\complement_UA}=\abs{\complement_UB}=n-m$，记 $n-m=p$。

设下标属于 $\complement_UB$ 的 $p$ 个向量 $\vv{u_k}$ 为 $(x_{A1},y_{A1})$, $(x_{A2},y_{A2})$, $\ldots$, $(x_{Ap},y_{Ap})$；
下标属于 $\complement_UA$ 的 $p$ 个向量 $\vv{u_k}$ 为 $(x_{B1},y_{B1})$, $(x_{B2},y_{B2})$, $\ldots$, $(x_{Bp},y_{Bp})$；
下标属于 $A\cap B$ 的 $m$ 个向量 $\vv{u_k}$ 为 $(x_{AB1},y_{AB1})$, $(x_{AB2},y_{AB2})$, $\ldots$, $(x_{ABm},y_{ABm})$。

记 $S_{xA}=x_{A1}+x_{A2}+\cdots+x_{Ap}$, $S_{yA}=y_{A1}+y_{A2}+\cdots+y_{Ap}$,
$T_{xA}=x_{A1}^2+x_{A2}^2+\cdots+x_{Ap}^2$, $T_{yA}=y_{A1}^2+y_{A2}^2+\cdots+y_{Ap}^2$,
$S_{xB}=x_{B1}+x_{B2}+\cdots+x_{Bp}$, $S_{yB}=y_{B1}+y_{B2}+\cdots+y_{Bp}$,
$T_{xB}=x_{B1}^2+x_{B2}^2+\cdots+x_{Bp}^2$, $T_{yB}=y_{B1}^2+y_{B2}^2+\cdots+y_{Bp}^2$,
$S_{xAB}=x_{AB1}+x_{AB2}+\cdots+x_{ABm}$, $S_{yAB}=y_{AB1}+y_{AB2}+\cdots+y_{ABm}$,
$T_{xAB}=x_{AB1}^2+x_{AB2}^2+\cdots+x_{ABm}^2$, $T_{yAB}=y_{AB1}^2+y_{AB2}^2+\cdots+y_{ABm}^2$，
那么条件中的等式等价于
\[(S_{xA}+S_{xAB})^2+(S_{yA}+S_{yAB})^2=(S_{xB}+S_{xAB})^2+(S_{yB}+S_{yAB})^2=1,\]
而待证不等式的左边为
\[\sum_{k\in A \cup B}\bigl| \vv{u_k}\bigr|^2=T_{xA}+T_{xB}+T_{xAB}+T_{yA}+T_{yB}+T_{yAB},\]
而
\[T_{xA}\geqslant \frac{S_{xA}^2}p,  T_{yA}\geqslant \frac{S_{yA}^2}p,
T_{xB}\geqslant \frac{S_{xB}^2}p,  T_{yB}\geqslant \frac{S_{yB}^2}p,
T_{xAB}\geqslant \frac{S_{xAB}^2}m,  T_{yAB}\geqslant \frac{S_{yAB}^2}m, \]
相加得
\begin{align*}
\sum_{k\in A \cup B}\bigl| \vv{u_k}\bigr|^2&=T_{xA}+T_{xB}+T_{xAB}+T_{yA}+T_{yB}+T_{yAB}\\
&\geqslant \frac{S_{xA}^2+S_{yA}^2+S_{xB}^2+S_{yB}^2}p+\frac{S_{xAB}^2+S_{yAB}^2}m\\
&=\frac{S_{xA}^2}p+\frac{S_{xAB}^2}{2m}+\frac{S_{yA}^2}p+\frac{S_{yAB}^2}{2m}
+\frac{S_{xB}^2}p+\frac{S_{xAB}^2}{2m}+\frac{S_{yB}^2}p+\frac{S_{yAB}^2}{2m}\\
&\geqslant \frac{(S_{xA}+S_{xAB})^2}{p+2m}+\frac{(S_{yA}+S_{yAB})^2}{p+2m}
+\frac{(S_{xB}+S_{xAB})^2}{p+2m}+\frac{(S_{yB}+S_{yAB})^2}{p+2m}\\
&=\frac2{p+2m},\\
&=\frac2{m+n}.
\end{align*}

事实上，向量可以不必是平面向量，可以是 $n$ 维向量，上述方法仍然适用，只不过要写更多组数，表达起来会更麻烦。

另外，那个.doc里面那个柯西证法很漂亮，比我的简洁多了。