[数列] 一道超水题，除了导数外，还有什么简单方法

福州小江

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2013-9-9 16:31

kuing

的确比较水也比较无聊。
设 $a_1=a>0$，公比为 $q>0$，则
\[8=a(2q^3+q^2-2q-1)=a(q^2-1)(2q+1),\]
故此 $q^2>1$，令 $q^2=1+x$, $x>0$，则
\[2a_8+a_7=a(2q^7+q^6)=\frac{8(2q^7+q^6)}{(q^2-1)(2q+1)}=\frac{8q^6}{q^2-1}=\frac{8(1+x)^3}x,\]
由均值不等式有
\[(1+x)^3=\left( \frac12+\frac12+x \right)^3\geqslant \left( 3\cdot \sqrt[3]{\frac x4} \right)^3=\frac{27}4x,\]
所以
\[2a_8+a_7\geqslant 54,\]
当 $x=1/2$ 时取等。

福州小江

厉害！我用待定系数，杀鸡用牛刀了！

睡神

我也来玩玩...
$a_1(2q^3+q^2-2q-1)=8$

$a_1(2q+1)(q^2-1)=8$

$a_1(2q+1)=\dfrac{8}{q^2-1}$
$2a_8+a_7=a_1q^6(2q+1)=\dfrac{8q^6}{q^2-1}$
$\dfrac{1}{2a_8+a_7}=\dfrac{q^2-1}{8q^6}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2q^2}\cdot \dfrac{1}{2q^2}\cdot (1-\dfrac{1}{q^2})\le \dfrac{1}{2}\cdot \Bigg (\dfrac{\dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{2q^2}+1-\dfrac{1}{q^2}}{3}\Bigg )^3=\dfrac{1}{54}$

$2a_8+a_7\ge 54$
当且仅当$\dfrac{1}{2q^2}=1-\dfrac{1}{q^2}$，即$q=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$时，取等号.

kuing

回复 4# 睡神

有啥区别……

福州小江

来个低级的

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2013-9-9 20:11

睡神

回复 5# kuing
没啥区别呀...只是玩玩罢了...顺便练练代码...

其妙

大家都来玩玩乐乐！同乐！
$8a_7+27a_1+27a_1\geqslant3\sqrt[3]{8a_7\cdot27a_1\cdot27a_1}=54\sqrt[3]{a_7a_1^2}=54a_3$
故$8a_7\geqslant54(a_3-a_1)$，$\dfrac{8a_7}{a_3-a_1}\geqslant54$，
显然有，$\dfrac{8a_7}{a_3-a_1}=\dfrac{(2a_4+a_3-2a_2-a_1)a_7}{a_3-a_1}=\dfrac{(2q+1)(a_3-a_1)a_7}{a_3-a_1}=(2q+1)a_7=2a_8+a_7\geqslant54$，
取等号略。

其妙

回复 8# 其妙
那个$a_3>a_1$可以证明的吧

福州小江

回复 8# 其妙


    又见其妙大法！！建议美特斯邦威直接找你当代言人！！哈哈

kuing

都没啥区别……

其妙

是的，，没啥区别呀...只是玩玩罢了...我也顺便练练代码...