[数论] 来自人教论坛的“$13^k$的平方拆分”

kuing

链接：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2874985
题目：

1.若对正整数X，其可以写作a^2+b^2的形式，那么称（a,b）为X的平方拆分。证，对于任意正整数K,13^k的平方拆分有且只有一种。

呃，话说这会不会是原贴楼主抄错题目？因为我发现 $13^3=46^2+9^2=39^2+26^2$ 于是当 $k\geqslant3$ 时都不止一种拆分。

kuing

我开始时也没想到题目可能错，跟原贴里一样从Lagrange恒等式开始想，不过后来想着想着，想起 $(x^2+y^2)(a^2+b^2)$ 其实除了可以写成 $(xa+yb)^2+(ya-xb)^2$ 外，还可以写成 $(ya+xb)^2+(xa-yb)^2$ 啊，它们大概不会总是相同或者有一项是零吧，于是干脆试一下，由 $13=2^3+3^2$, $13^2=5^2+12^2$，代入那两个式子便得以上两种拆分。

第一章

楼上打错了一个上标

kuing

呃，嗯，看到了，手误明显，没什么危害，懒得改了，1楼没打错就行，今天论坛跳转好像有点慢

其妙

所以，我在那里留言：“唯一性还是证明得有点模糊”，
很想说他错的了，当然我也怕是自己的理解能力不够呢
kk还细细的去想了一下。
尽管如此，那个构造还是不错的

kuing

回复 5# 其妙

当时我就看不懂他后面在干啥，不过我数论弱，也没细想，今天看到原贴6#说那是正确的，所以我才决定认真再看的，于是……