[几何] 平分三角形面积的截距范围（据说是今年2013的高考题）

kuing

已知点 $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$，直线 $y=ax+b$（$a>0$）将 $\triangle ABC$ 分割成面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围是（选项略）

kuing

用解几应该很容易，那么这里就用一点几何定理来玩吧。

分两类：

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2013-6-17 00:23

设 $BF=m\in (1,2)$，则由平分面积易知 $BE=\sqrt2/m$，另一方面也可以得到 $S_{\triangle OFD}=S_{\triangle CED}$，于是
\[b(m-1)=(1-b)\left( \sqrt2-\frac{\sqrt2}m \right)\sin45\du,\]
化简得
\[\frac b{1-b}=\frac1m\riff b=\frac1{m+1}\in \left( \frac13,\frac12 \right);\]

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2013-6-17 00:23

设 $CF=m\in \bigl(1,\sqrt2\bigr]$，则由平分面积易知 $CE=1/m$，于是由张角定理得
\[\sin45\du\left( m+\frac1m \right)=\frac1{1-b}\riff b=1-\frac{\sqrt2}{m+\frac1m}\in \left( 1-\frac{\sqrt2}2,\frac13 \right].\]

综上
\[b\in \left( 1-\frac{\sqrt2}2,\frac12 \right).\]

isee

按第一种分类讨论，面积相等，直接全部纯平几。（如果看作大题，有些不严谨，上下界取得条件需要严格论证一下，所以，还是楼上方法适合说理）
http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-1647-2-1.html

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2015-10-18 01:29

按解题方法，直接上向量（统一起来），（实事上，楼上与吴老师的方法本质完全相同，入手点不同）。

转载：
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... 659&pid=7914329

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2015-10-18 01:29