免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 来自人教论坛的“2013个数立方和最大值”

链接:http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2874985
题目:
2。已知a1+……+a2013=0,-2<=ai<=2,1<=i<=2013.求这2013个数立方和最大值。

打成 $\LaTeX$ 先:
题目:已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$,其中 $-2\leqslant a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2013$,求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3$ 的最大值。

解:当 $x\leqslant2$ 时,由 $3x+2-x^3=(2-x)(x+1)^2\geqslant0$ 得到 $x^3\leqslant3x+2$,故
\[a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3\leqslant3(a_1+a_2+\cdots+a_{2013})+2\cdot2013=4026,\]
当 $a_1 = a_2 =\cdots= a_{671} = 2$ 且 $a_{672} = a_{673} =\cdots= a_{2013} = -1$ 时取等,故最大值就是 $4026$。

PS1、由这个解法可以看出变量下界是多余的;
PS2、这个解法只适用于变元个数为 $3k$ 个,除非更改变量和的值或上界等。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

今年的一道奥赛题
还见过三角带换的方法,用三倍角公式…

TOP

今年的一道奥赛题
还见过三角带换的方法,用三倍角公式…
nash 发表于 2013-9-5 00:52
soga...
PS、是代换不是带换
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 2# nash
是哪的竞赛题呢?

TOP

回复 3# kuing

和网刊切线的文章练习第一题类似啊。。

TOP

话说一开始那个三次的式子是如何想到的?
根据取等条件?

TOP

看图
.png
2013-9-5 11:53

TOP

回复 6# 第一章

在楼上

TOP

本帖最后由 爪机专用 于 2013-9-5 12:15 编辑
回复  kuing

和网刊切线的文章练习第一题类似啊。。
Tesla35 发表于 2013-9-5 09:19

不类似,这个的取等条件不是全部相同,所以其实是既切线又支撑线,变元也要是3k个。
显然难度大些,也有趣些。

TOP

今年的题:已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$,其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2013$,求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3$ 的最大值。
明年的题:已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2014}=-1$,其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2014$,求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2014}^3$ 的最大值。
后年的题:已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2015}=1$,其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2015$,求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2015}^3$ 的最大值。
……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 10# kuing

TOP

回复 11# Tesla35

怎么样,你也来编几道看
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

TOP

回复 13# 其妙


    哦哦。这个好,有源头。

TOP

回复  其妙


    哦哦。这个好,有源头。
Tesla35 发表于 2013-9-5 19:00

那也不一定叫源头,或者叫源头之一

TOP

源不源不知道,难度都不在一个级别。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

本帖最后由 realnumber 于 2013-9-5 23:37 编辑

引理1:$x\ge y,x+y=C$(C为常数$C\ge0$),则$x^3+y^3$在$x-y$最大时取到最大值.
引理2:$ge x\ge y,x+y=C$(C为常数$C\le0$),则$x^3+y^3$在$x-y$最小时取到最大值.
证明:设$x=\frac{C}{2}+t,y=\frac{C}{2}-t,t\ge0$,则$x^3+y^3=\frac{C^3}{4}+3Ct^2$,易得引理1,2的结论.
以下解决1楼问题,
由引理1,2,可得立方和取得最大值时,其中正数都为2,负数都相等,设2有2013-k个,那么负数有k个,每个都为z,有$kz+2(2013-k)=0$

那么立方和为$8(2013-k)-k(\frac{4026-2k}{k})^3$,想不下去了,...

TOP

回复 17# realnumber

嗯,这种调整法就是一般情况的处理方法。
前面其妙贴的博客链接的“题源2”就是要这样做,而1楼的题目是数据好所以能取巧用切线,至于那个二次的直接可以略过,所以那里说的几个题的难度完全不在一个级别……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

大后年的题我会[/cx]

TOP

回复 19# 第一章
这么早?

TOP

返回列表 回复 发帖