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[数论] 请教一道数论题

a,b为小于500的正整数,若a^2+(a+1)^2=b^2,则称为(a,b),那么共有多少对(a,b)?
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回复 1# chr93918
用勾股公式?

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本帖最后由 睡神 于 2013-9-5 19:22 编辑

$2a^2+2a+1-b^2=0$
$\Delta=4-8(1-b^2)=4(2b^2-1)$
令$x^2=2b^2-1$,则$a=\dfrac{x-1}{2},x$为奇数
Pell方程$x^2=2b^2-1$的基础解为$(1,1)$,所有解由$(1+\sqrt2)^{2n+1},(n\ge1)$给出
所以$a=\dfrac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(1-\sqrt2)^{2n+1}-2}{4},b=\dfrac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(\sqrt2-1)^{2n+1}}{2\sqrt2}$
原处理:
由$0<a<500,0<b<500$得:$2n+1<\dfrac{\ln500}{\ln(1+\sqrt2)}\approx7.05$(计算机暴力算的)
后处理:
由$0<a<500,0<b<500$得:$2n+1<\dfrac{\ln500}{\ln(1+\sqrt2)}<\dfrac{\ln512}{\ln2}=9$
(原本我想计算$\dfrac{\ln512}{\ln2}$的整数部分的,但结果离7太接近了,有什么好的方法吗?)
所以$n=1,2,3$
经验算,$n=1,2,3$时都符合条件.
所以共有3对$(a,b)$
睡自己的觉,让别人说去!!!

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奇怪,我用爪机能上论坛,但是电脑上死活上不了!
我临时帖了个解答在旧版,楼上帮我粘帖过来一下。

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kuing的解答
由于 $a$ 与 $a+1$ 互素,故 $a$, $a+1$, $b$ 为素股勾数,所以必有
\[
\left(\begin{aligned}
a&=m^2-n^2,\\
a+1&=2mn,\\
b&=m^2+n^2,
\end{aligned}\right.
~\text{或}~
\left(\begin{aligned}
a+1&=m^2-n^2,\\
a&=2mn,\\
b&=m^2+n^2,
\end{aligned}\right.\]
其中正整数 $m$, $n$ 互质、一奇一偶且 $m>n$。由此可得
\[m^2-n^2-2mn=\pm1,\]

\[(m-n)^2=2n^2\pm1,\]
又由 $b<500$ 得
\[500>m^2+n^2\geqslant (n+1)^2+n^2,\]
可解出 $n\leqslant 15$,我们列出 $n$ 由 $1$ 到 $15$ 时 $2n^2$ 的值
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
2n^2&2&8&18&32&50&72&98&128&162&200&242&288&338&392&450\\
\hline
\end{array}
可以看出,只有 $n=1$, $2$, $5$, $12$ 才能使 $2n^2+1$ 或 $2n^2-1$ 为平方数,具体地可以解出以下四组解
\[\left(\begin{aligned}
n&=1,\\
m&=2,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
n&=2,\\
m&=5,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
n&=5,\\
m&=12,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
n&=12,\\
m&=29,
\end{aligned}\right.\]
代回去分别又得到
\[\left(\begin{aligned}
a&=3,\\
b&=5,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
a&=20,\\
b&=29,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
a&=119,\\
b&=169,
\end{aligned}\right.
\quad
\left(\begin{aligned}
a&=696,\\
b&=985,
\end{aligned}\right.\]
除最后一组外其余都符合条件,故此满足条件的 $a$, $b$ 只有三组解。
睡自己的觉,让别人说去!!!

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谢谢你们不吝赐教

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终于能上来了,尼玛一晚上都打不开论坛,谢谢睡神帮我贴那个解答,我也编辑了一下,链接去掉了(因为临时贴已删除)。
噢,睡神的解法也补充完了,有点高深,pell方程我还不懂哩。to 睡神:ln -> \ln
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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pell方程在叶军的那本书的数论章节里有,那本书叫的是最小解,睡神的叫基础解,可以用二阶线性递归数列来表达吧

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稍作了一下修改,后面的真不知道怎样处理比较好~
睡自己的觉,让别人说去!!!

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