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[几何] 人教论坛看到的一道几何证明选讲选做题

链接:http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2875165
题目:
1.(广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题)(几何证明选讲选做题)如图,$\odot O$ 的直径 $AB$ 的延长线与弦 $CD$ 的延长线相交于点 $P$,点 $E$ 是 $\odot O$ 上一点,$AE=AC$,$DE$ 交 $AB$ 于点 $F$,且 $AB=2BP=4$,则 $PF=\underline{\hspace{4em}}$
QQ截图20130903225455.png
2013-9-3 22:54


貌似不像平常那些几何证明选讲选做题那么简单耶,虽然一看就看出是 $P$ 和 $F$ 反演,但是常规的方法怎么证呢?
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回复 1# kuing
反演?
是因为内外角平分线分线段成比例,构成的调和分割?

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还是没看出什么简单方法,下面的解法可能严重复杂化。

QQ截图20130903225455.png
2013-9-3 23:17


如图,过 $P$ 作 $\odot O$ 的切线,切点为 $Q$,过 $Q$ 作 $QG\perp AB$ 于 $G$,连结 $OC$、$OD$、$OQ$、$GC$、$GD$。
则 $PC\cdot PD=PQ^2=PO\cdot PG$,从而 $C$、$D$、$G$、$O$ 四点共圆,所以
\[\angle DGP=\angle OCD=\angle ODC=\angle CGA,\]
另一方面,由 $AE=AC$ 得
\[\angle DFP=\angle EFA=\angle CFA,\]
由此可见 $F$ 和 $G$ 重合,所以
\[PF=PG=\frac{PQ^2}{PO}=\frac{2PA\cdot PB}{PA+PB}=\frac{2\cdot6\cdot2}{6+2}=3.\]
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QQ图片20130903.jpg
2013-9-3 23:30

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反演神马的,看过,没记住,忘了……

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回复 4# 第一章
这么快!

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回复 4# 第一章

原来 AE=AC 是这样用的,果然是我严重复杂化了
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还好没有给链接过去,不然糗大了
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回复  kuing
反演?
是因为内外角平分线分线段成比例,构成的调和分割?
其妙 发表于 2013-9-3 23:15

还真的是反演与调和呢!
博客图片.jpg
2013-9-3 23:57

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回复 9# 其妙

嗯,也不错
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我之所以想得那么复杂,大概是因为我第一眼就将图形脑补成下面这样了
QQ截图20130903225455.png
2013-9-4 00:13
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原贴那边 李斌755 的对称法很有型
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回复 12# kuing
你那个切点弦的图就看出了极点和极线的关系,所以反演也成立,同时调和分割也成立
故$OP*OF=r^2=4$,$OP=4$,故$OF=1$,于是$PF=3$.

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本帖最后由 isee 于 2013-9-5 23:15 编辑

哈哈,我当时见到这题,也想了一会,最后的解决方法就是第一章(共圆)与其妙(角分线比例性质)的方法均想出

说反演的话就不太常规了,还不如说根轴实在点




还准备发论坛玩玩的,不过,当时没几个会员,也觉得这题与高考的方向不太一致,就没发了

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回复 14# isee
反演和两圆的根轴是有关系的,学会了用【/cy】

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