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[数列] 2011年江苏省高考填空题之我见

尊敬的《中学数学》编辑,您们好:
在认真阅读了贵刊2011年第8期(高中版)刊登的陈忠怀老师《说目点眼江苏卷几道小题》一文后,发现了该文中的一些错误,故写此文,想与各位专家探讨一下。
陈忠怀老师在文中引用了2011年高考江苏卷第13题:
设 ,其中 成公比为q的等比数列, 成公差为1的等差数列,则q的最小值是________。
解答完此题后,陈忠怀老师认为:将原题条件弱化为 ,其他条件不变,则q的最小值等于 的结论仍成立。这是有误的!
笔者通过研究发现:当 时,数列为: 。求得
,所以q的最小值为 ;当 时
数列为: 。
显然符合题意,而此时 。因此当首项 时,求出的q的最小值不再是 。
而陈忠怀老师认为高考命题专家是:既要“淡化技巧”,又不可太为难考生,所以干脆在题目中将数列的首项特殊化,给考生网开一面。殊不知,没有真正弄懂题意,歪解了命题者的意图。
笔者通过研究发现了命题者在此处为何要将首项 的值特殊化。解释如下:
显然要q取最小值,则必有 ,所以数列为:  
由题意可知: ,同除以 得:
,容易知道,当 时,公比q无限趋近1,也就是说q可以比 小。
通过上述推理,大家不难发现q的最小值与 的值有关。
因此为了保证高考命题的科学性,命题者必须给定数列首项 的值。
以上是笔者对本问题的一些浅见,不到之处,敬请批评,指正。

2011.9.24
江苏省扬中高级中学数学组   陈慧荣  邮编;212200


[kuing注]
_______根据你传来的doc,我将公式补上来_______
尊敬的《中学数学》编辑,您们好:
在认真阅读了贵刊2011年第8期(高中版)刊登的陈忠怀老师《说目点眼江苏卷几道小题》一文后,发现了该文中的一些错误,故写此文,想与各位专家探讨一下。

陈忠怀老师在文中引用了2011年高考江苏卷第13题:
设$1 = a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_7 $,其中$a_1 ,a_3 ,a_5 ,a_7
$成公比为q的等比数列,$a_2 ,a_4 ,a_6
$成公差为1的等差数列,则q的最小值是________。

解答完此题后,陈忠怀老师认为:将原题条件弱化为$1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots
\le a_7
$,其他条件不变,则q的最小值等于$\sqrt[3]{3}$的结论仍成立。这是有误的!

笔者通过研究发现:当$a_1 = a_2 = 2$时,数列为:$2,2,2q,3,2q^2,4,2q^3$。求得
$q \ge 1,q \ge \sqrt {\frac{3}{2}} ,q \ge
\sqrt[3]{2}$,所以q的最小值为$\sqrt[3]{2}<\sqrt[3]{3}$;当$a_1 = a_2 =
1.5,q = 1.4$时
数列为:$1.5,1.5,1.5\times 1.4 = 2.1,2.5,1.5\times 1.4^2 =
2.94,3.5,1.5\times 1.4^3 = 4.116$。
显然符合题意,而此时$q = 1.4<\sqrt[3]{3} \approx
1.44224957$。因此当首项$a_1 \ne 1$时,求出的q的最小值不再是$\sqrt[3]{3}$。

而陈忠怀老师认为高考命题专家是:既要“淡化技巧”,又不可太为难考生,所以干脆在题目中将数列的首项特殊化,给考生网开一面。殊不知,没有真正弄懂题意,歪解了命题者的意图。

笔者通过研究发现了命题者在此处为何要将首项$a_1 $的值特殊化。解释如下:
显然要q取最小值,则必有$a_1 = a_2 $,所以数列为:$a_1 ,a_1 ,a_1 q,a_1 +
1,a_1 q^2,a_1 + 2,a_1 q^3$
由题意可知:$a_1 \le a_1 \le a_1 q \le a_1 + 1 \le a_1 q^2 \le a_1 + 2 \le
a_1 q^3$,同除以$a_1 $得:
$1 \le 1 \le q \le 1 + \frac{1}{a_1 } \le q^2 \le 1 + \frac{2}{a_1 } \le
q^3$,容易知道,当$
a_1 \to \infty $时,公比q无限趋近1,也就是说q可以比$\sqrt[3]{3}$小。

通过上述推理,大家不难发现q的最小值与$a_1 $的值有关。
因此为了保证高考命题的科学性,命题者必须给定数列首项$a_1 $的值。

以上是笔者对本问题的一些浅见,不到之处,敬请批评,指正。


2011.9.24
江苏省扬中高级中学数学组 陈慧荣 邮编;212200
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把word上的内容粘贴进来会丢掉公式和图片,要不把doc文件传上来吧。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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kuing老师,我已将上面这篇文章发到您的邮箱,请指教。

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回复 3# chr93918

噢,收到了。
PS、我不是老师……

其实好像也没什么好探讨了吧,你已经指出错误了,你投稿给《中学数学》就行了,发这论坛上大概《中学数学》的人也不会看到……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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我根据你传来的doc文件,将公式打上了主楼,没问题吧?
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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谢谢kuing

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2011.9.24
这么久了的信?

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这种杂志有没有免费的电子版?

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回复 8# joatbmon

估计只有纸质版,网上流传的某些PDF版大概也是从纸质版扫描入电脑的,不知算不算侵权……
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回复 9# kuing
算侵权吧,不过没有经济利益,告侵权也没有意义,所以一般会告诫“切勿用于商业用途”。

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