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旧论坛的一道未解决的积分题

原贴链接:http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-967-1-1.html
原标题:证明积分不等式
原发贴人:reny
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负递增,求证:存在 $[0,1]$ 上的非负凸函数 $g(x)$ 满足 $g(x)\leqslant f(x)$ 且
\[
\int_0^1g(x)\rmd x\geqslant\frac12\int_0^1f(x)\rmd x.
\]
这里的凸是指下凸。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

闲来无事翻旧帖……

1楼链接已失效,幸好当年存了档,现在把帖中我的想法截过来:
QQ截图20190401161422.png
2019-4-1 16:15

QQ截图20190401161519.png
2019-4-1 16:15

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楼上最后这段,其实已经可以把 `g(x)` 具体写出来:

那直线系的包络可以看成当 `x` 取定而 `k` 变化时,使其值最大的点,也就是
\[g(x)=\max_{k\geqslant0}\bigl(kx+b(k)\bigr),\]而 `b(k)` 就是 `f(x)-kx` 的最小值,所以
\[g(x)=\max_{k\geqslant0}\Bigl( kx+\min_{t\in[0,1]}\bigl(f(t)-kt\bigr) \Bigr),\quad x\in[0,1],\]这就是 `g(x)` 的一种表达式,不过依然不知怎样证明原题。

当然,或许会有更好的表达式,又或者有更直接的证明原题的方法,继续顶。

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当年的图是用几何画板画的,画法已经忘记,刚才想用 Mathematica 按楼上的表达式来画一下,结果不太顺利,事关一般的函数求最小值并不简单,即使用 NMinValue 也不行,会弹出些不知啥提示然后卡死,结果还是自己想了个土办法,用 Min[Table[N[...],...]] 的方式取代 NMinValue,也就是等距取一堆点找最小。
下面以 `f(x)=x-\sin x`, `x\in[0,11]` 为示例如下:
  1. f[x_] = x - Sin[x];
  2. {xmin, xmax, nx} = {0, 11, 100};
  3. {kmin, kmax, nk} = {0, 2, 20};
  4. dx = (xmax - xmin)/nx;
  5. dk = (kmax - kmin)/nk;
  6. fx = Plot[f[x], {x, xmin, xmax}]
  7. g[x_] := Max[Table[k x + Min[Table[N[f[t] - k t], {t, xmin, xmax, dx}]], {k, kmin, kmax, dk}]]
  8. xgx = Table[{x, g[x]}, {x, xmin, xmax, dx}];
  9. gx = ListLinePlot[xgx, PlotStyle -> Red];
  10. Show[fx, gx]
复制代码
运行几秒后得:
QQ截图20190401172914.png
2019-4-1 17:29

另外,在软件中右键图片可以另存为 PDF,那是矢量图,可以放大看清楚。

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This is an interesting property of convexity.  Intuitively, you got the clue of proving it. One could take $g(x)$ to be the lower part of the boundary curve of the convex hull of the curve $f(x)$.

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There you go...

3614241.pdf (322.9 KB)

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