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来自人教群的 $5^x+2^y=2^x+5^y=7/10$

QQ截图20131225172332.gif
2013-12-25 17:25

这大概是一个星期前在人教群看到的题,显然一眼能看出一个解是 $x=y=-1$,画图来看也能看出是唯一解,但是不知怎么证明。
QQ截图20131225183806.png
2013-12-25 18:37
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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

构造 $f(x)=5^x-2^x$即可

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回复 2# goft

请详写。

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回复 3# kuing
goft喜欢只说思路

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回复 4# 其妙

起步啦,是LaTeX代码

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回复 4# 其妙

但是估计他没动笔。
由 $f(x)=f(y)$ 也不能瞬间得出 $x=y$,$f$ 并不单调,要想推出它,可能还要费不少力,这思路我也想过,没整出来,所以才要他详写。

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回复 6# kuing
我懂你的意思,
有一道题你就逼我把过程详细写出来,我刚刚写完解答还来不及检查,结果就抓住我的漏洞了(因为你早就那样想过了),
现在关于latex代码 推广 ,kk功不可没,当然isee也帮了我的大忙,

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回复 6# kuing
我是几何画板发现$f$不单调

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回复 8# 乌贼

想想 $5^x$ 和 $2^x$ 的函数图像就知道不单调了,负的那边的差先大后小。

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想错了,改进:
$当 x>-1,由5^x+2^y=5^y+5^x=\frac{7}{10}=5^{-1}+2^{-1},$
$得5^x-5^{-1}=2^{-1}-2^y>0,y<-1,同时5^y-5^{-1}=2^{-1}-2^x>0,y>-1,矛盾.$同理x<-1,y>-1,且y<-1,矛盾$
故x=-1则y=-1$

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$推广:a>0,b>0,a^x+b^y=a^y+b^x=a^c+b^c则x=y=c$

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想错了,改进:
$当 x>-1,由5^x+2^y=5^y+5^x=\frac{7}{10}=5^{-1}+2^{-1},$
$得5^x-5^{-1}=2^{-1}-2^y>0,y<-1,同时5^y-5^{-1}=2^{-1}-2^x>0,y>-1,矛盾.$同理x<-1,y>-1,且y<-1,矛盾$
故x=-1则y=-1$
goft 发表于 2013-12-26 19:08

“同时$5^y-5^{-1}=2^{-1}-2^x>0$”这里反了吧,$x>-1$,后面应该是<0,没矛盾。

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老看错……,看来还要认真做题啊

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本帖最后由 郝酒 于 2013-12-26 22:23 编辑

唯一性肯定和$\frac{7}{10}$有关.
构造 $f(x) = 5^x - 2^x$,算$f'(x)=5^x\ln 5 - 2^x\ln 2=0$ 得极值点,$x_0 = \log_{\frac{5}{2}}\left(\log_52\right)<0$
$f(x)$先增后减,而$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0$右边不会越过$x$轴,大于零的横线和$f(x)$的图像只交于一点.

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唯一性肯定和$\frac{7}{10}$有关.
构造 $f(x) = 5^x - 2^x$,算$f'(x)=5^x\ln 5 - 2^x\ln 2=0$ 得极值点,$x ...
郝酒 发表于 2013-12-26 22:20


和我一样看错题,$f(x)不是0.7$

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老看错……,看来还要认真做题啊
goft 发表于 2013-12-26 20:20

同感。不过,题做多了,有时候就懒得仔细检查了,反正上论坛就是玩玩、高兴高兴

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$5^x+2^y=\dfrac{7}{10},2^x+5^y=\dfrac{7}{10}$,这是两个隐函数,解出显式得:$2^y=\dfrac{7}{10}-5^x,\quad5^y=\dfrac{7}{10}-2^x$,

得到两个函数$y_1=\log_2(\dfrac{7}{10}-5^x),\quad y_2=\log_5(\dfrac{7}{10}-2^x)$,现在求这两个函数的交点 ,由kk的图可知,交点为$(-1,-1)$,下所以只需证明$(-1,-1)$是唯一交点。

因为$\log_2(\dfrac{7}{10}-5^x)=\log_5(\dfrac{7}{10}-2^x)$,即$\dfrac{\ln(\dfrac{7}{10}-5^x)}{\ln2}=\dfrac{\ln(\dfrac{7}{10}-2^x)}{\ln5}$,

设$f(x)=\dfrac{\ln(\dfrac{7}{10}-5^x)}{\ln2}-\dfrac{\ln(\dfrac{7}{10}-2^x)}{\ln5}$,求证:$f'(x)>0$.
blog图片博客.jpg
2013-12-26 23:40
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 17# 其妙

群管-kuing  23:34:39
嗯,但是证明也很困难
我证到最后要证明一个很复杂的数大于0,暂时只能按计算器解决……

这是我之前打的草稿:

为方便书写,记 $a=7/10$。
\begin{align*}
5^x+2^y=a&\riff y=\frac{\ln (a-5^x)}{\ln 2}, \\
2^x+5^y=a&\riff y=\frac{\ln (a-2^x)}{\ln 5},
\end{align*}

\[\ln 5\ln (a-5^x)=\ln 2\ln (a-2^x),\]

\[f(x)=\ln 5\ln (a-5^x)-\ln 2\ln (a-2^x),x<\log _2a,\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2^x\ln ^22}{a-2^x}-\frac{5^x\ln ^25}{a-5^x},\]
则只要证
\[(a-5^x)2^x\ln ^22>(a-2^x)5^x\ln ^25,\]
令 $x=-t$, $t>-\log _2a$,则等价于证
\[(5^ta-1)\ln ^22>(2^ta-1)\ln ^25,\]

\[g(t)=(5^ta-1)\ln ^22-(2^ta-1)\ln ^25,\]
求导得
\[g'(t)=(5^t\ln 2-2^t\ln 5)a\ln 2\ln 5,\]

\[g'(t)=0 \iff \left( \frac52 \right)^t=\frac{\ln 5}{\ln 2} \iff t=\frac{\ln \frac{\ln 5}{\ln 2}}{\ln \frac52}=\frac{\ln (\ln 5)-\ln (\ln 2)}{\ln 5-\ln 2}=t_0,\]

\[g(t)\geqslant g(t_0)=(5^{t_0}a-1)\ln ^22-(2^{t_0}a-1)\ln ^25,\]
然后按计算器发现最后那个数是正的……

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回复 18# kuing

因为一直找不到不靠计算器证明最后那个数为正的办法,所以一直没放上来。

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回复  kuing

因为一直找不到不靠计算器证明最后那个数为正的办法,所以一直没放上来。 ...
爪机专用 发表于 2013-12-27 00:34


同感,寻求几何、代数解法,用计算器,导数暴力搞掉

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