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[几何] 来自人教群的一道椭圆对内圆切点弦直线被坐标轴截求最小

QQ截图20131224234746.gif
2013-12-24 23:47

这里我们将椭圆方程一般化,改为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$,其中 $a$, $b>1$,里面的圆不变。

由对称性,只需研究 $P$ 在第一象限内的情形,如图所示,设 $OP$ 的倾斜角为 $\theta$,记 $OP=p$, $OC=q$, $MN=r$。

QQ截图20131224234957.gif
2013-12-24 23:56


由 $P$ 在椭圆上,有
\[\frac{(p\cos \theta )^2}{a^2}+\frac{(p\sin \theta )^2}{b^2}=1,\]
又易知
\[OC\cdot OP=OA^2\riff pq=1,\]
以及
\[OC=OM\cos \theta =MN\sin \theta \cos \theta \riff q=r\sin \theta \cos \theta,\]
由以上三式消去 $p$, $q$ 即得
\[r^2=\frac1{a^2\sin ^2\theta }+\frac1{b^2\cos ^2\theta },\]
从而由柯西不等式得
\[r^2=(\sin ^2\theta +\cos ^2\theta )\left( \frac1{a^2\sin ^2\theta }+\frac1{b^2\cos ^2\theta } \right)\geqslant \left( \frac1a+\frac1b \right)^2,\]

\[r\geqslant \frac1a+\frac1b,\]
取等条件为 $\tan \theta =\sqrt{b/a}$,故 $MN$ 的最小值为 $1/a+1/b$。
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本帖最后由 isee 于 2013-12-25 11:00 编辑

有意思的小题目,先看看

若将外面的变成圆,里面的变成椭圆,好像也类似

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设$P(x_0,y_0)$,则$AB$方程:$xx_0+yy_0=1$,

于是由柯西不等式可得,$|MN|^2=\dfrac1{x_0^2}+\dfrac1{y_0^2}=\dfrac{\dfrac1{a^2}}{\dfrac{x_0^2}{a^2}}+\dfrac{\dfrac1{b^2}}{\dfrac{y_0^2}{b^2}}\geqslant\dfrac{(\dfrac1{a}+\dfrac1{b})^2}{\dfrac{x_0^2}{b^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}}=(\dfrac1{a}+\dfrac1{b})^2$,

故$|MN|\geqslant\dfrac1{a}+\dfrac1{b}$,取等号略。

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回复 3# 其妙

嗯,这是比较常规的方法,我昨晚后来也在群里提过一下,但没写出来。
群管-kuing/shq/fad 0:22:23
我是尽量几何化地做,其实用那个切点弦方程的结论做也很简单,估计你也那样玩了吧。

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PS、切点弦方程的方法还能处理更一般的情形,比如说里面的也变成椭圆,这时我上面的几何法就不太好使了

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回复 4# kuing
我最近没怎么注意群的消息,所以就写出来作为参考了.
几何的方法貌似和反演($|OC|\cdot|OP|=R^2,R$为圆的半径)或者极点极线有关吧。

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好像有这么一个部分相似的题:
过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$在第一象限的点作椭圆的切线,交坐标轴于$M、N$两点,求$|MN|$的最小值。

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