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[函数] 称为 “支撑线” 函数的 单调性 问题

12345.JPG
2013-12-23 10:23
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跟支撑线有什么关系??
I am majia of kuing

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听别人说的而已。大虾,能否帮忙解决一下,谢谢!

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想到一个坑爹的证法:

由于 $f(x)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(1-x)^2}$ 恒为正且关于 $x=1/2$ 对称,故此,令
\begin{align*}
g(x)&=\left( 2f\left( \frac{x+1}2 \right) \right)^2 \\
&=\bigl( \sqrt{4+(1+x)^2}+\sqrt{4+(1-x)^2} \bigr)^2 \\
&=10+2x^2+2\sqrt{\bigl(4+(1+x)^2\bigr)\bigl(4+(1-x)^2\bigr)},
\end{align*}
则只要证明 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 递增即可。

任取 $x>y\geqslant 0$,则
\begin{align*}
\frac{g(x)-g(y)}2&=x^2-y^2+\sqrt{\bigl(4+(1+x)^2\bigr)\bigl(4+(1-x)^2\bigr)}-\sqrt{\bigl(4+(1+y)^2\bigr)\bigl(4+(1-y)^2\bigr)} \\
&=x^2-y^2+\frac{(y^2-x^2)(x^2+y^2+6)}{\sqrt{\bigl(4+(1+x)^2\bigr)\bigl(4+(1-x)^2\bigr)}+\sqrt{\bigl(4+(1+y)^2\bigr)\bigl(4+(1-y)^2\bigr)}} \\
&\geqslant x^2-y^2+\frac{(y^2-x^2)(x^2+y^2+6)}{4+\abs{(1+x)(1-x)}+4+\abs{(1+y)(1-y)}} \\
&=x^2-y^2+\frac{(y^2-x^2)(x^2+y^2+6)}{8+\abs{x^2-1}+\abs{y^2-1}} \\
&\geqslant x^2-y^2+\frac{(y^2-x^2)(x^2+y^2+6)}{\abs{8+x^2-1+y^2-1}} \\
&=0,
\end{align*}
另外注意到第一个“$\geqslant$”的取等条件为 $x=y=0$,与所设不符,故此取不了等号,所以得到 $g(x)>g(y)$,从而得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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打字技术不好,向量表示,两边之和大于第三边

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本帖最后由 isee 于 2013-12-23 23:00 编辑
想到一个坑爹的证法:

由于 $f(x)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(1-x)^2}$ 恒为正且关于 $x=1/2$ 对称,故此,令
...
kuing 发表于 2013-12-23 16:38


这么一说,直接$g(x)=f(x+\frac 12),(0,+\infty)$,用定义即可了,key:分子有理化。

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打字技术不好,向量表示,两边之和大于第三边
goft 发表于 2013-12-23 22:26




投入LaTeX的怀抱吧

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这么一说,直接$g(x)=f(x+\frac 12),(0,+\infty)$,用定义即可了,key:分子有理化。 ...
isee 发表于 2013-12-23 22:36


我一开始就这样想,不过根号多,不易玩(你可以试试),于是决定先平方一下减少根号,就变成现在的样子,还刚好可以用柯西。

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本帖最后由 isee 于 2013-12-23 23:50 编辑
我一开始就这样想,不过根号多,不易玩(你可以试试),于是决定先平方一下减少根号,就变成现在的样子, ...
kuing 发表于 2013-12-23 23:08


晕,弄错了符号。

还是写步骤看一下


\begin{align*}
g(x)&=f(x+\frac 12)=\sqrt {x^2+x+\frac 54}+\sqrt {x^2-x+\frac 54}\\
g(x_1)-g(x_2)&=\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}-\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}\\
&=\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}+\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}\\
&=\dfrac {x_1^2+x_1-x_2^2-x_2}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\cdots\\
&=\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)}{\cdots}
\end{align*}


的确,符号很难确定
===
楼主有空,写个导数过程看看~

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本帖最后由 isee 于 2013-12-23 23:52 编辑

晕了,\begin{align*}
\sqrt{g(x)}&=2f\left( \frac{x+1}2 \right)
\end{align*}

三次变换得新函数,若对学生,不知道直接就晕了多少人!


我回头一看你哪过程,更晕,还不止一次不等式 应用……

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晕,弄错了符号。

还是写步骤看一下


\begin{align*}
g(x)&=f(x+\frac 12)=\sqrt {x^2+x+\frac 54}+\sq ...
isee 发表于 2013-12-23 23:24

不妨设$x_1>x_2\geqslant0$,放缩一下,立刻成立,

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不妨设$x_1>x_2\geqslant0$,放缩一下,立刻成立,
其妙 发表于 2013-12-23 23:53

写出来吧。

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打字技术不好,向量表示,两边之和大于第三边
goft 发表于 2013-12-23 22:26

用几何意义吗?那可以不打字啊,直接上图也行。

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比如说
QQ截图20131224011137.gif
2013-12-24 01:10

这样。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 战巡 于 2013-12-24 04:15 编辑

回复 1# longma


唉...讲了那么久的双曲函数还是没什么人会用........
再用一次给你们看!

令$x=\sinh(p),1-x=\sinh(q)$
则有
\[f(x)=\sqrt{1+\sinh^2(p)}+\sqrt{1+\sinh^2(q)}=\cosh(p)+\cosh(q)\]
另一方面有
\[\sinh(p)+\sinh(q)=x+1-x=1\]
这两式分别平方,然后相减可得
\[f(x)^2-1=\cosh^2(p)+\cosh^2(q)+2\cosh(p)\cosh(q)-\sinh^2(p)-\sinh^2(q)-2\sinh(p)\sinh(q)\]
\[f(x)^2-1=2+2\cosh(p-q)\]
\[f(x)=\sqrt{3+2\cosh(p-q)}\]
于是$f(x)$的增减性与$\cosh(p-q)$一致,当$p-q<0$时减,$p-q>0$时增
当$p-q<0$时,由于$\sinh(x)$是恒增的函数,有
\[\sinh(p)<\sinh(q),  x<1-x,  x<\frac{1}{2}\]
另一边同理

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回复 15# 战巡

哈哈~

不过,战巡够早的~

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回复 15# 战巡
见过一次

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$\begin{align*}
g(x)&=f(x+\frac 12)=\sqrt {x^2+x+\frac 54}+\sqrt {x^2-x+\frac 54}\\
g(x_1)-g(x_2)&=\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}-\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}\\
&=\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}+\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}\\
&=\dfrac {x_1^2+x_1-x_2^2-x_2}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {x_1^2-x_1-x_2^2+x_2}{\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}}\\
&=\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)}{\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}}\\
&>(x_1-x_2) P\\
&>0\end{align*}$

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QQ图片20131224113408.jpg
2013-12-24 11:34

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回复  战巡

哈哈~

不过,战巡够早的~
isee 发表于 2013-12-24 08:26

他是双曲党+外国党

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