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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 一个几何，垂心，证线段中点

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发表于 2013-8-31 09:31 | 只看该作者

[几何] 一个几何，垂心，证线段中点

才发现新论坛的一个缺点，没有帖子分类

QQ截图20130831092709.jpg

我的思路：有两圆相交就把连心线和公共弦做出来，要证P是CH中点，连接$O_2P$应该有$O_2P\perp CH$.
观察发现$O_1O_2PA$应为平行四边形，然后这条思路就断了。。

QQ截图20130831092832.jpg

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2^#

发表于 2013-8-31 11:19 | 只看该作者

没有帖子分类是因为我还没设置，临时版嘛就没设那么多，所以明天变成正式第二版后就会有了

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3^#

发表于 2013-8-31 12:15 | 只看该作者

QQ截图20130831121548.png

延长 $AP$ 交 $\odot O_2$ 于 $E$，然后连那些辅助线。
记 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $R$，$\angle BAC=A$，$BC=a$，易证 $AH=2R\cos A$。
因为 $BD\perp AE$，所以 $BE$ 是 $\odot O_2$ 的直径，所以 $AH\sslash CE$。
又易证 $\angle BHC+A=180\du$，所以 $\angle BEC=A$，故 $CE=a\cot A$。
所以 $AH=CE\iff 2R\cos A=a\cot A \iff 2R\sin A=a$ 显然成立，故此 $AH\pqd CE$，即得 $ACEH$ 是平行四边形，从而 $P$ 是 $CH$ 中点。

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地狱的死灵

4^#

发表于 2013-8-31 12:26 | 只看该作者

QQ图片20130831120020.jpg

作圆O2的直径BE，
则ADE三点共线（∠ADB+∠BDE=180°）
BH⊥AC，BH⊥EH，
则AC∥EH
AH⊥BC，CE⊥BC，
所以AH∥CE，
于是四边形AHEC是平行四边形，
所以HP=PC

5^#

发表于 2013-8-31 12:29 | 只看该作者

噢，我证得麻烦了些……用两个平行得平行四边形比较简单

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6^#

发表于 2013-8-31 12:31 | 只看该作者

回复 4# 地狱的死灵
怎么想出来的。。

7^#

发表于 2013-8-31 13:55 | 只看该作者

本帖最后由第一章于 2013-8-31 14:13 编辑

我试一下

QQ图片20130831.jpg

8^#

发表于 2013-8-31 14:38 | 只看该作者

回复 7# 第一章
为何 $O_2Q=O_1A$？

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9^#

发表于 2013-8-31 15:30 | 只看该作者

回复 8# kuing
三角形顶点与垂心的距离=外心到对边距离*2

QQ图片20130832.jpg

10^#

发表于 2013-8-31 15:33 | 只看该作者

回复 9# 第一章

soga

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11^#

发表于 2021-9-6 02:22 | 只看该作者

无字证明，$ ACNH $为平行四边形

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