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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 一个几何,垂心,证线段中点
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Tesla35
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发表于 2013-8-31 09:31
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[几何]
一个几何,垂心,证线段中点
才发现新论坛的一个缺点,没有帖子分类
2013-8-31 09:28
我的思路:有两圆相交就把连心线和公共弦做出来,要证P是CH中点,连接$O_2P$应该有$O_2P\perp CH$.
观察发现$O_1O_2PA$应为平行四边形,然后这条思路就断了。。
2013-8-31 09:28
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发表于 2013-8-31 11:19
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没有帖子分类是因为我还没设置,临时版嘛就没设那么多,所以明天变成正式第二版后就会有了
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发表于 2013-8-31 12:15
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2013-8-31 12:15
延长 $AP$ 交 $\odot O_2$ 于 $E$,然后连那些辅助线。
记 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $R$,$\angle BAC=A$,$BC=a$,易证 $AH=2R\cos A$。
因为 $BD\perp AE$,所以 $BE$ 是 $\odot O_2$ 的直径,所以 $AH\sslash CE$。
又易证 $\angle BHC+A=180\du$,所以 $\angle BEC=A$,故 $CE=a\cot A$。
所以 $AH=CE\iff 2R\cos A=a\cot A \iff 2R\sin A=a$ 显然成立,故此 $AH\pqd CE$,即得 $ACEH$ 是平行四边形,从而 $P$ 是 $CH$ 中点。
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地狱的死灵
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发表于 2013-8-31 12:26
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2013-8-31 12:04
作圆O2的直径BE,
则ADE三点共线(∠ADB+∠BDE=180°)
BH⊥AC,BH⊥EH,
则AC∥EH
AH⊥BC,CE⊥BC,
所以AH∥CE,
于是四边形AHEC是平行四边形,
所以HP=PC
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kuing
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发表于 2013-8-31 12:29
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噢,我证得麻烦了些……用两个平行得平行四边形比较简单
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发表于 2013-8-31 12:31
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地狱的死灵
怎么想出来的。。
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发表于 2013-8-31 13:55
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本帖最后由 第一章 于 2013-8-31 14:13 编辑
我试一下
2013-8-31 14:13
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发表于 2013-8-31 14:38
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为何 $O_2Q=O_1A$?
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发表于 2013-8-31 15:30
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kuing
三角形顶点与垂心的距离=外心到对边距离*2
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发表于 2013-8-31 15:33
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