[几何] 求四边形的周长

isee

题目

四边形$ABCD$内接于圆$O$，且$AC$为直径，对角线$AC,BD$相交于$P$，$AB=BD$，若$AC=3,CP=0.6$。
试求$ABCD$的周长。

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2013-12-19 22:56

PS：这次附个图吧。
PPS：第一次见；原来这也是个陈题，仅限于初中方法的，想了十几分钟，汗一下，分享一下~

其妙

回复 5# isee
http://www.docin.com/p-550668401.html
第14题，

战巡

回复 1# isee

令$AB=a,BC=b,CD=c,AD=d$
先是直径，两个直角三角形，有：
\[a^2+b^2=9\]
\[c^2+d^2=9\]
然后是圆内接四边形，由托勒密定理，有：
\[ac+bd=3a\]
再是$\frac{S△ABD}{S△BCD}=\frac{AB·AD}{BC·CD}=\frac{AP}{PC}=4$，有：
\[ad=4bc\]
四条方程联立得到
\[\begin{cases}a=\sqrt{6}\\b=\sqrt{3}\\c=1\\d=2\sqrt{2}\end{cases}\]

乌贼

连接$BO$并延长交圆与$E$，连接$AE,DE,\triangle AEB\cong\triangle DEB\cong\triangle BCA\riff BC=ED\riff\angle PBO=\angle PDC
\riff\\\triangle DCP\sim\triangle BOP\riff\dfrac{CD}{BO}=\dfrac{CP}{OP}\riff CD=1$
下略。

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2013-12-20 03:22

乌贼

回复 2# 其妙
原来里面有答案

isee

回复 3# 战巡

哇，当时，也有这个想法，但被解四次方程吓着了，这是其一。

最关键的是，当时，那个0.6的线段不会用。

这四个方程，我解一下，最笨的方法，消元，将最后一式得到d，向前代，得a,b,c的式子。

再将第一式得$b^2$，消b，最后两式正好都是关于a，c的式子，且有c的一次，再消c，整理有
\[a^4-21a^2+90=0\]

注意$a^2<9$得到$a=\sqrt6$。

isee

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2013-12-20 10:12

后来，跳出平几，针对0.6，用三角，如图标角。

容易得到

\[4 = \dfrac {\tan 2\alpha}{\tan\alpha}\]

这样，$\tan \alpha=\dfrac {\sqrt2} 2,\cdots$

回头一看，印象中，好像论坛有类似的结论：斜率之积与定点的几何证法，http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=626，大家具体看这个吧，异曲同工，异途同归。

isee

回复 4# 乌贼

CD的长度还有没其它求法呢？毕竟B是弧AD的中点，想从这方面入手，就不想这样求CD长了……

战巡

回复 6# isee


不必如此
\[ac+bd=3a\]
\[c+\frac{bd}{a}=3\]
另一方面
\[ad=4bc, \frac{b}{a}=\frac{d}{4c}\]
带入得到
\[c+\frac{d^2}{4c}=3\]
\[\frac{4c^2+d^2}{4c}=3\]
\[\frac{3c^2+9}{4c}=3\]
得
\[c=1,c=3\]
当然要舍掉$c=3$这个解，此时$d=0$，有$c=1$
然后可求其他的

isee

翻看 新编中学数学解题方法全书-初中版-中卷 时看到此题

有其它证明过程，做个资料汇总。