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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 求角的取值范围（全国高中数学联赛 2006年北方赛区）

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发表于 2013-12-17 17:35 | 只看该作者

[几何] 求角的取值范围（全国高中数学联赛 2006年北方赛区）

本帖最后由 isee 于 2013-12-23 11:22 编辑

题目：

已知$AD$是$\triangle ABC$边$BC$上的高，且$BC+AD=AB+AC$。
求$\angle A$ 的取值范围。

答案推荐：
从15楼方向到17楼的补充，这个解，解得太帅了！17楼的这个半角正节，及内切圆太妙太妙！
成功的避开三角函数，是我喜欢的类型。

goft 在17楼的详细：

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

我们来看看当年的标准参考答案

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2^#

发表于 2013-12-17 18:18 | 只看该作者

本帖最后由战巡于 2013-12-18 14:38 编辑

回复 1# isee

两边平方，得到
\[BC^2+2BC·AD+AD^2=AB^2+AC^2+2AB·AC\]
\[4S+AD^2=AB^2+AC^2-BC^2+2AB·AC=2AB·AC·\cos(A)+2AB·AC\]
\[\frac{4S}{AB·AC}+\frac{AD}{AB}·\frac{AD}{AC}=2\cos(A)+2\]
\[2\sin(A)+\cos(∠DAB)\cos(∠DAC)=2\cos(A)+2\]
\[2\sin(A)+\frac{\cos(∠DAB+∠DAC)}{2}+\frac{\cos(∠DAB-∠DAC)}{2}=2\cos(A)+2\]
\[2\sin(A)+\frac{\cos(A)}{2}-2\cos(A)=-\frac{\cos(∠DAB-∠DAC)}{2}+2\]
\[2\sin(A)-\frac{3\cos(A)}{2}=-\frac{\cos(∠DAB-∠DAC)}{2}+2\]
然后这范围就好求了

3^#

发表于 2013-12-17 21:59 | 只看该作者

回复 2# 战巡

果然是战巡的菜，

4^#

发表于 2013-12-18 08:28 | 只看该作者

$D$点还不能在$B,C$两点及其延长线上，不好构造几何模型。

5^#

发表于 2013-12-18 08:41 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-18 14:37 编辑

回复 4# 乌贼

其实原题配有图，图中D在BC上，所以主楼才说D在BC边上。

现在将D在BC边上去掉了。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

是有难度，战巡那个也不能一眼得到结果……

6^#

发表于 2013-12-18 09:09 | 只看该作者

回复 5# isee

这个不用的，A肯定是钝角，D只能在线段BC上

7^#

发表于 2013-12-18 11:57 | 只看该作者

2sin(A)+sin(∠DAB)sin(∠DAC)=2cos(A)+2

2sin(A)+cos(∠DAB+∠DAC)2−cos(∠DAB−∠DAC)2=2cos(A)+2
好像反了

8^#

发表于 2013-12-18 13:21 | 只看该作者

回复 6# 战巡
$\angle A$不一定为钝角

9^#

发表于 2013-12-18 13:29 | 只看该作者

回复 5# isee
结果是$[\arccos\frac7{25},180^\circ)$吗？

10^#

发表于 2013-12-18 13:50 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-18 13:54 编辑

回复 9# 乌贼

$[2\arctan\dfrac34,\dfrac \pi 2)$

我仅仅知道结果……

而这个结果正好说明战巡的推测不准确

11^#

发表于 2013-12-18 14:39 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-18 14:47 编辑

$D$点还不能在$B,C$两点及其延长线上，不好构造几何模型。
乌贼发表于 2013-12-18 08:28

找到原题了，原题对D点没有限制。

现在改过来了。

12^#

发表于 2013-12-18 14:42 | 只看该作者

之前太大意了.......

现在改了，那个方程确实可以解出$[2\arctan(\frac{3}{4}),\frac{\pi}{2})$这一截
不过还多一块——$[2\arctan(7),\pi)$这一段，你们有空看看这段是神马情况

13^#

发表于 2013-12-18 14:48 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-12-18 15:01 编辑

回复 12# 战巡

还是厉害~

简单的“验证”了一下，当AD平分角A时，用2楼解出的结果便是 2arctan0.75，（钝角情况被我无视了，哈哈）

14^#

发表于 2013-12-18 15:51 | 只看该作者

本帖最后由乌贼于 2013-12-18 15:53 编辑

回复 10# isee
$2\arctan\frac34$就是8楼的角，$\frac{\pi}2$怎么求？
原来是联赛题，被$isee$忽悠了

15^#

发表于 2013-12-18 16:33 | 只看该作者

如图：构建$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的椭圆，其两焦点和短轴顶点组成的三角形满足条件，再构建焦点在$X$轴上焦距为$6$，短轴$b=m,(0<m<4)$，有
\[6<2\sqrt{m^2+9}<6+m\]这样一来，在椭圆的第一象限（其他象限也有）图形上总能找到一点（其到$X$轴的距离为$2\sqrt{m^2+9}-6$）满足条件。例如$m=2$……
可还是得不出任何结论。

16^#

发表于 2013-12-18 17:52 | 只看该作者

回复 15# 乌贼
$m>4$时也存在满足条件的点

17^#

发表于 2013-12-18 21:41 | 只看该作者

RE: 求角的取值范围（全国高中数学联赛 2006年北方赛区）

本帖最后由 goft 于 2013-12-22 19:31 编辑

借乌贼兄思路发的一个解法，不知道有问题没
]0RW{A%5]UZHH7~ZYYH3`GJ.jpg

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QQ图片20131222193020.jpg

18^#

发表于 2013-12-18 23:13 | 只看该作者

本帖最后由乌贼于 2013-12-19 03:32 编辑

回复 17# goft
偶还是不知道结论，PS能给出答案吗！

19^#

发表于 2013-12-19 10:21 | 只看该作者

$当BC变大时，\angle BAD和 \angle DAC 都变大$

20^#

发表于 2013-12-19 10:23 | 只看该作者

有问题，不知道怎么解释了……

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