来自人教论坛初中数学版的“初升高的方程题”

链接：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2874164
题目：

话说，题目中的“$0\sim2$ 之间”的意思不知是否能取端点？这里暂且当作不能吧，即理解为 $x_1$, $x_2\in(0,2)$。

（1）首先显然 $k=0$ 不符合题意，故接下来设 $k\ne0$。

当 $0<x<1$ 时，等式化为 $1+kx=0 \iff x=-1/k$；
当 $1\leqslant x<2$ 时，等式化为 $2x^2+kx-1=0$。

如果 $k>0$，则前者的根为负，此时只能 $x_1$, $x_2$ 都为后者的根，但是由韦达定理知后者两根必为一正一负，所以不可能，所以 $x_1$, $x_2$ 是分别取自两者的，故此得到
\[0<-\frac1k<1\leqslant \frac{-k+\sqrt{k^2+8}}4<2,\]
解得
\[-\frac72<k<-1.\]

（2）由（1）知
\begin{align*}
\frac1{x_1}+\frac1{x_2}&=-k+\frac4{\sqrt{k^2+8}-k}\\
&=-k+\frac{\sqrt{k^2+8}+k}2\\
&=\frac{\sqrt{k^2+8}-k}2\\
&=\frac{\sqrt{(-k)^2+8}+(-k)}2,
\end{align*}
由于 $-k>1$，故
\[\frac{\sqrt{(-k)^2+8}+(-k)}2>\frac{\sqrt{1+8}+1}2=2,\]
即
\[\frac1{x_1}+\frac1{x_2}>2.\]